**Sčítání matic** - Sčítáme matice stejného typu po prvcích ($c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$), zapisujeme $C = A + B$.
- $A+B = B+A$
- $A+(B+C) = (A+B)+C$
- $A+0 = 0+A = A$
- $(A+B)^T = A^T + B^T$
**Násobení matice konstantou** - Zapisujeme $C = k \cdot A$, kde $k \in \mathbb{C}$. Každý prvek vynásobíme číslem $k$.
- $0 \cdot A = 0$
- $k(A+B) = kA + kB$
- $(k_{1}+k_{2})A = k_{1}A + k_{2}B$
- $(k_{1}k_{2})A = k_{1}(k_{2}A)$
- $1A = A$
- $-1A = -A$
- $(kA)^T = kA^T$
**Násobení dvou matic** - Zapisujeme jako $C = A \cdot B$, kde A je typu m/**n** a B je typu **n**/p. Platí, že $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}$. Násobení dvou matic není komutativní.
**Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$** - Neprázdná množina $\mathcal{V}$, kde pro každé $\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}$ a pro každé $k, l \in \mathbb T$
- $\exists!\space \vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = k \vec x$,
- $(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)$,
- existuje prvek $\vec o \in \mathcal{V}$ takový, že $\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x$,
- $(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x$,
- $(kl)\vec x = k(l\vec x)$,
- $1\vec x = \vec x$,
- $k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y$.
**Lineární kombinace** - Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$, kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty.
**Lineární (ne)závislost** - Prvky $\vec v_{i}$ nazveme **LN** pouze tehdy, pokud $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k} = \vec o$ jedině když $\lambda_{i} = 0$, v opačném případě se prvky nazývají **LZ**.
**Podprostor** - Nechť $\mathcal{V}$ je LVP a $\mathcal{V}' \subset \mathcal{V}$. Prostor $\mathcal{V}'$ je podprostorem LVP $\mathcal{V}$, jestliže
1. pro každé $\vec x_{1}, \vec x_{2} \in \mathcal{V}'$ je $\vec x_{1} + \vec x_{2} \in \mathcal{V}'$,
2. pro každé $\vec x \in \mathcal{V}'$ a pro každé $\lambda \in \mathbb R$ je $\lambda\vec x \in \mathcal{V}'$.
**Permutace** - Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.
**Transpozice** - Permutace $\pi$, pro kterou existují $i, j$ takové, že $\pi(i) = j, \pi(j) = i$ a $\pi(k) = k$ pro všechna $k \neq i, j$.
**Znaménko permutace $\pi$** - Číslo 1, je-li permutace sudá a -1, je-li permutace lichá (skládá se ze sudého/lichého počtu transpozice).
**Determinant** - Determinantem čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo $\displaystyle\det A = \sum_{\pi} zn(\pi) a_{1\pi(1)} a_{2\pi(2)} \dots a_{n\pi(n)}$, kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{ 1, 2, \dots, n \}$.
**Algebraický doplněk prvku $a_{ij}$** - Číslo $A_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$, kde matice A je čtvercová.
### Hodnost matice
**Řádkový (sloupcový) prostor** - Nechť A je typu $m/n$. Lineární obal všech řádkových (sloupcových) vektorů (řádků/sloupců) matice A nazveme **řádkovým (sloupcovým) prostorem** matice A.
**Řádková (sloupcová) hodnost matice** - Dimenze řádkového (sloupcového) prostoru matice A nazveme řádkovou (sloupcovou) hodností matice A, značíme $\text{hod}^r(A)$, resp. $\text{hod}^s(A)$.
**Hodnost matice** - Hodností matice A nazveme $\text{hod}^r(A)$
**Minor řádu $m$** - Determinant libovolné čtvercové podmatice řádu $m$.
**Regulární (singulární) matice** - Čtvercovou matici A řádu $n$ nazveme regulární, je-li $\text{hod}(A) = n$, jinak ji nazveme singulární (tj. $\text{hod}(A) <n$).
**Adjungovaná matice k matici A** - Matice poskládaná transponovaně z algebraických doplňků, značí se $A^A$.
Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ lineární zobrazení.
**Lineární zobrazení (homomorfizmus)** - Zobrazení $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ kde $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP, jestliže pro každé $\vec x, \vec y \in \mathcal{U}$ a pro každé $c \in \mathbb R$ platí:
**Obraz lineárního zobrazení** - Množina všech prvků $\vec y \in \mathcal{V}$ takových, že existuje $\vec x \in \mathcal{U}$ tak, že $\mathbb L(\vec x) = \vec y$. Značí se $\text{Im}(\mathbb L) = \{ \vec y \in \mathcal{V}; \exists \vec x \in \mathcal{U}, \mathbb L(\vec x) = \vec y \}$.
**Matice lineárního zobrazení** - Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ lineární zobrazení. **Matice lineárního zobrazení** je matice M pro kterou platí: $\widehat{\mathbb{L}(\vec{u})} = M \cdot \vec u$.
**Matice přechodu** - Nechť $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP a $\mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ lineární zobrazení. Matice přechodu $T$ od báze $D$ k bázi $C$ je matice, pro kterou platí: $T \cdot \vec{x}_{c} = \widehat{I \cdot \vec{x}_{d}}$.
**Řešení soustavy rovnic** - Každý vektor $\overline {\vec x} \in \mathbb R^n$, pro nějž platí $A\overline {\vec x} = \vec b$.
**Ekvivalentní soustavy** - Dvě soustavy, které mají stejnou množinu řešení.
**(Ne)homogenní soustava** - Soustava rovnic se nazývá **homogenní**, jestliže $\vec b = \vec o$. V opačném případě se nazývá **nehomogenní**.
### Vlastní čísla a vlastní vektory
**Vlastní číslo matice A** - Nechť A je čtvercová matice řádu $n$. Číslo $\lambda \in \mathbb C$ nazveme vlastním číslem matice A, jestliže existuje nenulový vektor $\vec u \in \mathbb R^n$ takový, že $\lambda \vec u = A\vec u$.
**Vlastní vektor** - Vektor $\vec u$ příslušející vlastnímu číslu $\lambda$, pro který platí $\lambda \vec u = A\vec u$.
**Charakteristický polynom** - Polynom $\det(A-\lambda I)$ se nazývá charakteristický polynom matice A, která je čtvercová.
**Charakteristická rovnice** - Rovnice $\det(A - \lambda I) = 0$, kde se charakteristický polynom rovná nule.
**Spektrum matice** - Soubor všech vlastních čísel matice A, značíme ho $\text{Sp}(A)$.
**Podobnost matice** - Matice A a B jsou čtvercové, matice A je podobná matici B, jestliže existuje regulární matice T taková, že $A = T^{-1}BT$. Značíme $A \approx B$.
**Řetězec zobecněných vlastních vektorů** - Uspořádaná $k$-tice vektorů $\vec u_{i}$ je řetězcem zobecněných vlastních vektorů, kde A je čtvercová matice a $\lambda$ je vlastní číslo matice A, jestliže
a $k$ je nejmenší číslo, pro něž je $(A-\lambda I)^k = \vec O$.
**Zobecněný vlastní vektor** - Vektor $\vec u_{1}$ je vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu $\lambda$. Pro každé $j = 1,2,\dots,k$ se nazývá $j$-tý zobecněný vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu $\lambda$.
**Ortogonální prvky** - Dva prvky $\vec x, \vec y$ Eukleidovského prostoru, jestliže $(\vec x, \vec y) = 0$. Píšeme $\vec x \perp \vec y$. Množiny $X, Y \subset \mathcal{U}$ jsou ortogonální, jestliže $\vec x \perp \vec y$ pro každé $\vec x \in X, \vec y \in Y$.
**Ortogonální doplňek** - Ortogonální doplněk $\mathcal{V}^{\perp}$ podprostoru $\mathcal{V}$ v $\mathcal{U}$ je množina všech vektorů z $\mathcal{U}$, které jsou kolmé na $\mathcal{V}$, tedy na každý prvek $\mathcal{V}$, kde $\mathcal{V}$ je podprostor Eukleidovského prostoru $\mathcal{U}$. Píšeme $V^{\perp} = \{\vec{u} \in \mathcal{U}; \vec{u} \perp \vec{v}; \forall \vec{v} \in V\}$.
**Ortonormální báze** - Ortogonální báze $B = \{ \vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k} \}$, kde $(\vec b_{i}, b_{i}) = 1$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$.
### Kvadratické formy
**Kvadratická forma** - Zobrazení $\kappa(\vec x) = \vec x^T A \vec x$, kde A je reálná symetrická matice.
**Inercie kvadratické formy** - Označme $k$ počet kladných vlastních čísel matice A, $z$ počet záporných a $d$ počet vlstních čísel matice A rovných nule, inercií kvadratické formy označíme trojici čísel $(k, z, d)$ a značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$, kde $\kappa(\vec x) = \vec x^TA\vec x$ je kvadratická forma a A je reálná symetrická matice.
**Hlavní minor matice A řádu $k$** - Číslo $\det(A_{k})$, kde $A = [a_{ij}]$ je symetrická matice řádu $n$ a $A_{k}$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{kk}$. Značí se $\Delta_{k}$.