89 lines
3.8 KiB
Markdown
89 lines
3.8 KiB
Markdown
**Numerické metody pro řešení úloh na vlastní čísla. Částečný problém a úplný problém. Mocninná metoda a metoda Rayleighova podílu. Ortogonální transformace. Singulární rozklad matice. Využití pro rešení obecných soustav lineárních algebraických rovnic.**
|
||
|
||
### Vlastní čísla
|
||
|
||
Je dána čtvercová matice $A$ řádu $n$. Vlastní vektor $v$ je nenulový vektor, pro který platí $Av = \lambda v$. Číslo $\lambda$ se nazývá vlastním číslem matice $A$.
|
||
|
||
- $Av = \lambda x$
|
||
- $\lambda$ ... vlastní číslo
|
||
- $x$ ... vlastní vektor (nenulový)
|
||
- charakteristická rovnice ... $\det(A - \lambda I) = 0$
|
||
- kořeny jsou vlastní čísla
|
||
- spektrální matice ... $A = \text{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n})$
|
||
|
||
Typy problémů
|
||
- **úplný problém**: úlohou je najít všechna vlastní čísla
|
||
- **částečný problém**: úlohou je najít pouze některá vlastní čísla (obvykle s největší absolutní hodnotou)
|
||
|
||
### Mocninná metoda
|
||
|
||
Řeší částečný problém - vlastní číslo matice $A$ s největší absolutní hodnotou.
|
||
|
||
**Předpoklady**
|
||
- matice $A$ má $n$ LN vlastních vektorů
|
||
- existuje právě jedno dominantní vlastní číslo
|
||
- vlastní čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$
|
||
|
||
**Algoritmus**
|
||
- **vstup**: čtvercová matice $A$ a sloupcový vektor $y^{(0)}$ (např. samé jedničky)
|
||
- **zastavovací podmínka**: $|\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon$
|
||
1. pomocí iterační formule $y^{(k+1)} = A\cdot y^{(k)}$ počítáme další $y^{(k+1)}$ pro $k = 0, 1, \dots$
|
||
2. z vektoru $y^{(k+1)}$ vybereme index $i$, kde je absolutní hodnota $|y^{(k+1)}_{i}|$ největší
|
||
3. vypočítáme přibližné vl. číslo $\displaystyle\lambda^{(k+1)} = \frac{y^{(k+1)}_{i}}{y^{(k)}_{i}}$
|
||
- použijeme hodnoty na $i$-tém indexu v aktuálním a předchozím vektoru $y$
|
||
4. opakujeme, pokud neplatí zastavovací podmínka
|
||
|
||
**Poznámky**
|
||
- kvůli přetečení/podtečení je vhodné vektor $y^{(k+1)}$ v každém kroku normovat
|
||
- $\displaystyle y^{(k)} = \frac{y^{(k)}}{\Vert y^{(k)}\Vert}$
|
||
|
||
### Metoda Rayleighova podílu
|
||
|
||
Tato metoda je velice podobná mocninné metodě, ale pro výpočet lambdy použijeme **jiný vzorec** níže.
|
||
|
||
$\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k-1)}}$
|
||
|
||
**Předpoklady**
|
||
- stejné jako u mocninné metody
|
||
- **navíc**: matice $A$ je **blízce symetrická** (hodnoty jsou téměř symetrické)
|
||
- vlastní vektory jsou díky tomu ortonormální
|
||
- $v_{i}^Tv_{j} = 0; \quad i\neq j$
|
||
- $v_{i}^Tv_{i} = 1$
|
||
|
||
**Poznámky**
|
||
- konverguje k nule zhruba dvakrát rychleji
|
||
|
||
### Ortogonální transformace
|
||
|
||
**Podobnost matic**
|
||
- matice $A$ a $B$ jsou si podobné, pokud existuje matice $P$, pro kterou platí $P^{-1}AP = B$ nebo $A = PBP^{-1}$
|
||
- podobné matice mají **stejná vlastní čísla**
|
||
|
||
**Princip**
|
||
- využijeme podobnosti matic
|
||
- konstruujeme posloupnost vzájemně podobných matic, která konverguje k matici, jejíž vlastní čísla se dají snadno určit
|
||
- posloupnost vzájemně podobných matic: $A_{k+1} = Q_{k}^TA_{k}Q_{k}, \quad k = 0,1,2,\dots$
|
||
|
||
**Metoda QU-rozkladu**
|
||
- používáme pro obecnou matici
|
||
- $A = QU$
|
||
- $Q$ ... ortogonální matice - $QQ^T = I$, tedy $Q^T = Q^{-1}$
|
||
- $U$ ... horní trojúhelníková matice
|
||
- $B = UQ$
|
||
|
||
Příkladem ortogonální matice je matice rovinné rotace o úhel $\alpha$.
|
||
- pro dostatečně velké $k$ je $A^k$ horní trojúhelníková matice
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
|
||
\sin \alpha & \cos \alpha
|
||
\end{bmatrix}
|
||
$$
|
||
|
||
**Metoda Jacobiovy diagonalizace**
|
||
- používáme, když $A$ je reálná symetrická matice
|
||
- poté existuje ortogonální matice $Q$ taková, že platí $Q^TAQ = A$
|
||
- $A$ ... spektrální matice = matice s vlastními čísly na diagonále
|
||
- **postupné nulování** prvků mimo diagonálu (iteračně konvergují k nulám)
|
||
|