Přídání 9. a úprava 7. a 8. okruhu z NM

KMA NM/Zkouška/06. okruh.md

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 ### Vlastní čísla
 
-Je dána čtvercová matice $A$ řádu $n$. Vlastní vektor $v$ je nenulový vektor, pro který platí $Av = \lambda v$. Číslo $\lambda$ se nazívá vlastním číslem matice $A$.
+Je dána čtvercová matice $A$ řádu $n$. Vlastní vektor $v$ je nenulový vektor, pro který platí $Av = \lambda v$. Číslo $\lambda$ se nazývá vlastním číslem matice $A$.
 
 - $Av = \lambda x$
 	- $\lambda$ ... vlastní číslo

KMA NM/Zkouška/07. okruh.md

@@ -24,9 +24,6 @@ Základní úlohy
 	- hledáme-li funkční závislost mezi zadanými body
 	- nevyžadujeme, aby aproximace body procházela
 
-Věta (Weierstrassova)
-- TODO
-
 ### Aproximace Taylorovým polynomem
 
 - aproximace na okolí bodu

KMA NM/Zkouška/09. okruh.md

@@ -0,0 +1,68 @@
+**Numerické metody pro počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Metody Taylorova typu. Rungovy-Kuttovy metody. Vícekrokové metody. Odhad chyby řešení. Pasivní a aktivní extrapolace. Algoritmy typu prediktor-korektor. Lokální a globální chyba. Konzistence, 0-stabilita, A-stabilita a konvergence.**
+
+### NM pro počáteční úlohy ODR
+
+Formulace
+- dána
+	- funkce $f(x,y)y \quad y \in \mathbb{R}, x \in \langle a,b\rangle$
+	- čísla $y_{0} \in \mathbb{R}, x_{0} \in \langle a,b\rangle$
+- chceme najít funkci $y(x); \quad x \in \langle x_{0},b\rangle$, která na $(x_{0},b)$ splňuje $y' = f(x,y)$ a splňuje počáteční podmínku $y(x_{0}) = y_{0}$
+- funkce $y(x)$ je řešením úlohy
+
+Lipschitzovsky spojitá funkce
+- $|f(x,y_{1}) - f(x,y_{2})| \leq L|y_{1}-y_{2}| \quad \forall x \in \langle a,b\rangle, \quad \forall y_{1},y_{2} \in \mathbb{R}$
+- Lipschitzovská konstanta $L$ říká, jak moc se změní $f$, když se změní $y$
+- pokud je funkce $f$ diferencovatelná podle $y$, tak je funkce omezená $L$
+- aby platila věta o řešitelnosti (existovalo řešení), musí být mimo jiné funkce $f$ Lipschitzovsky spojitá
+
+Dělení metod
+- metody založené na num. **derivaci** / na num. **integraci**
+- **jednokrokové** metody / **vícekrokové** metody
+- **explicitní** metody / **implicitní** metody
+- metody s **konst. krokem** / s **proměnným krokem**
+
+**Základem metod je diskretizace proměnných.**
+
+**Eulerova metoda**
+- nejjednodušší jednokroková explicitní metoda
+	- $y' = f(x,y)$
+	- $y = y(x); \quad y(x_{k}) \approx y_{k}$
+- sestavím Taylorův polynom
+	- $y(x_{k+1}) = y(x_{k}) + h\cdot y'(x_{k}) + \frac{h^2}{2}y''(\xi_{k})$
+	- $y(x_{k+1}) = y(x_{k}) + h\cdot f(x_{k},y(x_{k})) + \frac{h^2}{2}y''(\xi_{k})$
+		- poslední člen zanedbáme
+- rekurentní formule
+	- $y_{k+1} = y_{k} + h\cdot f(x_{k}, y_{k})$
+
+Diskretizační chyby
+- **lokální diskretizační chyba** $d_{k}$
+	- nepřesnost s jakou teoretické hodnoty splňují rekurentní vztah pro $y_{k+1}$
+	- chyba jednoho kroku metody (za předpokladu, že předchozí hodnoty jsou správné)
+- **globální diskretizační chyba** $e_{k}$
+	- rozdíl teoretické a vypočtené hodnoty řešení v bodě $x_{k}$
+	- $e_{k} = y(x_{k}) - y_{k}$
+
+**Metody Taylorova typu**
+- **řád diferenční metody**: největší přirozené číslo $p$ takové, že platí $d_{k} = O(h_{k}^{p+1})$
+- hodnota $y(x_{k+1})$ aproximujee pomocí Taylorova polynomu vyššího řádu $p$
+- v praxi nepoužívané kvůli vysokým derivacím
+- rekurentní formule: $\displaystyle y_{k+1} = y_{k} + h\cdot f(x_{k},y_{k}) + \frac{h^2}{2}f'(x_{k},y_{k}) + \dots + \frac{h^p}{p!}f^{(p-1)}(x_{k}, y_{k})$
+
+**Rungovy-Kuttovy metody**
+- také vyhází z Taylorova polynomu, ale nepoužívá se přímo, aby nebylo potřeba vyjadřovat derivace funkce $f$ a počítat jejich hodnoty
+- hledanou aproximací je kombinace několika hodnot funkce $f$ ve strategicky volených bodech $(x,y)$ na $\langle x_{k}, x_{k+1}\rangle$
+- **Heunova metoda**
+	- $y_{k+1} = y_{k} + \frac{h}{2}[f(x_{k},y_{k}) + f(x_{k+1}, \overline{y}_{k+1})]$
+	- $\overline{y}_{k+1} = y_{k} + h\cdot f(x_{k}, y_{k})$
+	- $d_{k} = 0(h^3), \quad e_{k} = O(h^2)$
+- **Modifikovaná Eulerova metoda**
+	- $\displaystyle y_{k+1} = y_{k} + h\cdot f\left( x_{k}+\frac{h}{2}, y_{k+1/2} \right)$
+	- $y_{k+1/2} = y_{k} + \frac{h}{2}\cdot f(x_{k}, y_{k})$
+	- $d_{k} = O(h^3), \quad e_{k} = O(h^2)$
+
+**Vícekrokové metody**
+- hodnoty $y_{k+1}$ vypočítáme pomocí hodnot $y_{k-n}, y_{k-n+1}, \dots, y_{k-1}, y_{k}$
+- vycházíme z rovnosti $y' = f(x, y(x))$, platí tedy i rovnost integrálů
+- $\displaystyle y(x_{k+1}) = y(x_{k}) + \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x, y(x)) \, dx$
+	- $g(x) = f(x, y(x))$
+	- funkcí $g(x)$ aproximujeme interpolačním polynomem, zintegrujeme přesně