128 lines
5.7 KiB
Markdown
128 lines
5.7 KiB
Markdown
**Přímé metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Gaussova eliminační metoda. LU a Choleského rozklad. Existence a jednoznačnost trojúhelníkového rozkladu. Stabilita trojúhelníkového rozkladu. Přímé metody pro soustavy se speciální maticí.**
|
|
|
|
### Soustava lineárních algebraických rovnic
|
|
|
|
Přímé metody
|
|
- metody, kde výpočet probíhá bez zaokrouhlovacích chyb, tedy zcela přesně
|
|
|
|
Formulace
|
|
- máme čtvercovou matici $A$ a vektor pravé strany $b$
|
|
- hledáme vektor $x$ takový, aby platilo $Ax = b$
|
|
- předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení)
|
|
|
|
2 typy soustav
|
|
- soustavy s obecnou maticí
|
|
- přímé metody
|
|
- soustavy se speciální maticí (symetrická, řídká, ...)
|
|
- iterační nebo modifikovace přímých metod
|
|
|
|
Cramerovo pravidlo
|
|
- vypočítáme determinant matice $A$ a determinant matice $A_{i}$, kde $i$-tý sloupec nahradíme vektorem $b$
|
|
- $\displaystyle x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$
|
|
- nutno vypočítat $(n+1)$ determinantů
|
|
|
|
### Gausova eliminační metoda
|
|
|
|
- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítáním řádku s násobkem jiného
|
|
- cílem je vynulování části sloupce pod diagonálou
|
|
- trojúhelníkovou soustavu řešíme zpětným chodem
|
|
|
|
Efektivnost algoritmu GEM
|
|
- výpočet multiplikátoru + přímý chod + zpětný chod
|
|
- časová složitost $O(n^3)$
|
|
|
|
Realizovatelnost GEM
|
|
- může se stát, že algoritmus bude nucen při řádkových úpravách dělit nulou
|
|
- pro tyto případy normální GEM není realizovatelná a musíme použít GEM s pivotací
|
|
+ je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
|
|
- absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet absolutních hodnot a ostatních čísel v tomto řádku
|
|
+ je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
|
|
- **pozitivně definitní** - má všechna vlastní čísla kladná
|
|
|
|
**GEM se sloupcovou pivotací**
|
|
- vždy vezmeme sloupec a najdeme v něm **největší absolutní hodnotu** a **prohodíme řádky** tak, aby **to číslo bylo na diagonále** (tím zajistíme, že nebudeme dělit nulou)
|
|
- nevýhodnou je prohledávání
|
|
- s postupující GEM se ale zrychluje - prohledáváme méně prvků
|
|
- řádková pivotace
|
|
- princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení $x$ (prohození sloupců prohází složky řešení)
|
|
- GEM s pivotací je **realizovatelná pro libovolnou regulární matici** $A$
|
|
|
|
**Existence řešení**
|
|
- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární
|
|
- lineárně nezávislé řádky a sloupce
|
|
- $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$
|
|
|
|
### Metoda LU-rozkladu
|
|
|
|
Spočívá v rozkladu matice $A$ na horní $U$ a dolní $L$ trojúhelníkovou matici.
|
|
- stejná přesnost i pracnost jako GEM
|
|
|
|
**LU-rozklad**
|
|
- $A$ ... regulární matice řádu N
|
|
- lze rozložit na $A = LU$
|
|
- $L$ ... dolní trojúhelníková matice řádu N
|
|
- $U$ ... horní trojúhelníková matice řádu N
|
|
|
|
LU-rozklad **existuje**, pokud lze provést pivotaci tak, aby se eliminovaly nuly na diagonále.
|
|
|
|
**Jednoznačnost LU-rozkladu**
|
|
- LU-rozklad **není jednoznačný**. Jednoznačnosti je možné dosáhnout tak, že si zvolíme diagonálu jedné z matic (např. do L dáme na diagonálu jedničky).
|
|
|
|
**Řešení soustavy LU-metodou**
|
|
1. zadáno $A, b$, provedeme LU-rozklad: $A = LU$
|
|
2. řešení trojúhelníkové soustavy: $Ly = b$ - hledám $y$
|
|
3. řešení trojúhelníkové soustavy: $Ux = y$ - hledám $x$
|
|
|
|
**Využití LU-metody**
|
|
- když počítáme více soustav, kde se mění pouze pravá strana $b$
|
|
- stačí provést pouze jeden LU-rozklad (náročný) a poté už jen několikrát opakovat řešení trojúhelníkových soustav (jednoduchý výpočet - výhoda oproti GEM)
|
|
- řešení maticových soustav $AX = B$
|
|
- nedourčené soustavy - soustavy se singulární maticí
|
|
- máme méně rovnic než neznámých (dovyrobíme si další řádky)
|
|
|
|
**Choleského rozklad**
|
|
- speciální případ LU-rozkladu pro **pozitivně definitní matice**
|
|
- matici $A$ rozložíme na součin dolní trojúhelníkové matice a její transpozice
|
|
- $A = L\cdot L^T$
|
|
- **symetrická a pozitivně definitní matice** má vždy Chol. rozklad
|
|
- díky symetrii snížíme počet aritmetických operací na polovinu
|
|
- rozklad je jednoznačný, pokud jsou diagonální prvky $L$ kladné
|
|
|
|
Stabilita LU-rozkladu
|
|
- **obecně stabilní**, pokud se provádí **s pivotací** (permutací řádků)
|
|
- bez pivotace může být nestabilní, pokud má matice $A$ velmi malé nebo velké prvky
|
|
- Chol. rozklad je numericky stabilní pro pozitivně definitní matice
|
|
|
|
### Srovnání metod
|
|
|
|
**GEM**
|
|
- efektivní pro řešení soustav, na PC pro tisíce rovnic
|
|
- při **změně pravé strany** se musí celý výpočet **opakovat**
|
|
|
|
**LU**
|
|
- efektivní pro **více pravých stran**
|
|
|
|
**Choleského**
|
|
- méně náročná pro **symetrické a pozitivně definitní matice**
|
|
|
|
### Přímé metody pro soustavy se speciální maticí
|
|
|
|
**Symetrická matice**
|
|
- používáme **symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu**
|
|
- $A = LDL^T$ - $D$ je diagonální matice
|
|
- rozklad zachovává symetrii původní matice
|
|
- efektivnější, rychlejší a stabilnější než obecná LU-metoda
|
|
- **symetrická + pozitivně definitní**
|
|
- Choleského rozklad
|
|
|
|
**Pásová matice**
|
|
- řídká matice s **nenulovými prvky kolem diagonály**
|
|
- **zachovávají se pozice nul** (to v obecném případě neplatí)
|
|
- **pásová + symetrická + pozitivně definitní**
|
|
- Choleského rozklad
|
|
|
|
**3-diagonální matice**
|
|
- pásová matice, kde jsou nenulové prvky na 3 diagonálách
|
|
- metoda faktorizace
|
|
- $A \cdot Y = F$ ... soustava $n+1$ lineárních algebraických rovnic
|
|
- přímý chod + zpětný chod
|