FAV-ZCU/KMA NM/Zkouška/03. okruh.md

Přímé metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Gaussova eliminační metoda. LU a Choleského rozklad. Existence a jednoznačnost trojúhelníkového rozkladu. Stabilita trojúhelníkového rozkladu. Přímé metody pro soustavy se speciální maticí.

Soustava lineárních algebraických rovnic

Přímé metody

• metody, kde výpočet probíhá bez zaokrouhlovacích chyb, tedy zcela přesně

Formulace

• máme čtvercovou matici A a vektor pravé strany b
• hledáme vektor x takový, aby platilo Ax = b
• předpokládáme, že A je regulární (tj. soustava má jedno řešení)

2 typy soustav

• soustavy s obecnou maticí
  • přímé metody
• soustavy se speciální maticí (symetrická, řídká, ...)
  • iterační nebo modifikovace přímých metod

Cramerovo pravidlo

• vypočítáme determinant matice A a determinant matice A_{i}, kde $i$-tý sloupec nahradíme vektorem b
• \displaystyle x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}
• nutno vypočítat (n+1) determinantů

Gausova eliminační metoda

• převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítáním řádku s násobkem jiného
  • cílem je vynulování části sloupce pod diagonálou
• trojúhelníkovou soustavu řešíme zpětným chodem

Efektivnost algoritmu GEM

• výpočet multiplikátoru + přímý chod + zpětný chod
• časová složitost O(n^3)

Realizovatelnost GEM

• může se stát, že algoritmus bude nucen při řádkových úpravách dělit nulou
• pro tyto případy normální GEM není realizovatelná a musíme použít GEM s pivotací

• je-li matice A ostře diagonálně dominatní, pak je algoritmus GEM realizovatelný
  • absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet absolutních hodnot a ostatních čísel v tomto řádku
• je-li matice A symetrická a pozitivně definitní, pak je algoritmus GEM realizovatelný
  • pozitivně definitní - má všechna vlastní čísla kladná

GEM se sloupcovou pivotací

• vždy vezmeme sloupec a najdeme v něm největší absolutní hodnotu a prohodíme řádky tak, aby to číslo bylo na diagonále (tím zajistíme, že nebudeme dělit nulou)
• nevýhodnou je prohledávání
  • s postupující GEM se ale zrychluje - prohledáváme méně prvků
• řádková pivotace
  • princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení x (prohození sloupců prohází složky řešení)
• GEM s pivotací je realizovatelná pro libovolnou regulární matici A

Existence řešení

• soustava Ax = b má právě 1 řešení, když je A regulární
  • lineárně nezávislé řádky a sloupce
  • \det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0

Metoda LU-rozkladu

Spočívá v rozkladu matice A na horní U a dolní L trojúhelníkovou matici.

• stejná přesnost i pracnost jako GEM

LU-rozklad

• A ... regulární matice řádu N
  • lze rozložit na A = LU
• L ... dolní trojúhelníková matice řádu N
• U ... horní trojúhelníková matice řádu N

LU-rozklad existuje, pokud lze provést pivotaci tak, aby se eliminovaly nuly na diagonále.

Jednoznačnost LU-rozkladu

• LU-rozklad není jednoznačný. Jednoznačnosti je možné dosáhnout tak, že si zvolíme diagonálu jedné z matic (např. do L dáme na diagonálu jedničky).

Řešení soustavy LU-metodou

1. zadáno A, b, provedeme LU-rozklad: A = LU
2. řešení trojúhelníkové soustavy: Ly = b - hledám y
3. řešení trojúhelníkové soustavy: Ux = y - hledám x

Využití LU-metody

• když počítáme více soustav, kde se mění pouze pravá strana b
  • stačí provést pouze jeden LU-rozklad (náročný) a poté už jen několikrát opakovat řešení trojúhelníkových soustav (jednoduchý výpočet - výhoda oproti GEM)
• řešení maticových soustav AX = B
• nedourčené soustavy - soustavy se singulární maticí
  • máme méně rovnic než neznámých (dovyrobíme si další řádky)

Choleského rozklad

• speciální případ LU-rozkladu pro pozitivně definitní matice
• matici A rozložíme na součin dolní trojúhelníkové matice a její transpozice
  • A = L\cdot L^T
• symetrická a pozitivně definitní matice má vždy Chol. rozklad
  • díky symetrii snížíme počet aritmetických operací na polovinu
• rozklad je jednoznačný, pokud jsou diagonální prvky L kladné

Stabilita LU-rozkladu

• obecně stabilní, pokud se provádí s pivotací (permutací řádků)
• bez pivotace může být nestabilní, pokud má matice A velmi malé nebo velké prvky
• Chol. rozklad je numericky stabilní pro pozitivně definitní matice

Srovnání metod

GEM

• efektivní pro řešení soustav, na PC pro tisíce rovnic
• při změně pravé strany se musí celý výpočet opakovat

LU

• efektivní pro více pravých stran

Choleského

• méně náročná pro symetrické a pozitivně definitní matice

Přímé metody pro soustavy se speciální maticí

Symetrická matice

• používáme symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu
  • A = LDL^T - D je diagonální matice
  • rozklad zachovává symetrii původní matice
  • efektivnější, rychlejší a stabilnější než obecná LU-metoda
• symetrická + pozitivně definitní
  • Choleského rozklad

Pásová matice

• řídká matice s nenulovými prvky kolem diagonály
• zachovávají se pozice nul (to v obecném případě neplatí)
• pásová + symetrická + pozitivně definitní
  • Choleského rozklad

3-diagonální matice

• pásová matice, kde jsou nenulové prvky na 3 diagonálách
• metoda faktorizace
  • A \cdot Y = F ... soustava n+1 lineárních algebraických rovnic
  • přímý chod + zpětný chod