**Přímé metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Gaussova eliminační metoda. LU a Choleského rozklad. Existence a jednoznačnost trojúhelníkového rozkladu. Stabilita trojúhelníkového rozkladu. Přímé metody pro soustavy se speciální maticí.**

### Soustava lineárních algebraických rovnic

Přímé metody
- metody, kde výpočet probíhá bez zaokrouhlovacích chyb, tedy zcela přesně

Formulace
- máme čtvercovou matici $A$ a vektor pravé strany $b$
- hledáme vektor $x$ takový, aby platilo $Ax = b$
- předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení)

2 typy soustav
- soustavy s obecnou maticí
	- přímé metody
- soustavy se speciální maticí (symetrická, řídká, ...)
	- iterační nebo modifikovace přímých metod

Cramerovo pravidlo
- vypočítáme determinant matice $A$ a determinant matice $A_{i}$, kde $i$-tý sloupec nahradíme vektorem $b$
- $\displaystyle x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$
- nutno vypočítat $(n+1)$ determinantů

### Gausova eliminační metoda

- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítáním řádku s násobkem jiného
	- cílem je vynulování části sloupce pod diagonálou
- trojúhelníkovou soustavu řešíme zpětným chodem

Efektivnost algoritmu GEM
- výpočet multiplikátoru + přímý chod + zpětný chod
- časová složitost $O(n^3)$

Realizovatelnost GEM
- může se stát, že algoritmus bude nucen při řádkových úpravách dělit nulou
- pro tyto případy normální GEM není realizovatelná a musíme použít GEM s pivotací
+ je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
	- absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet absolutních hodnot a ostatních čísel v tomto řádku
+ je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
	- **pozitivně definitní** - má všechna vlastní čísla kladná

**GEM se sloupcovou pivotací**
- vždy vezmeme sloupec a najdeme v něm **největší absolutní hodnotu** a **prohodíme řádky** tak, aby **to číslo bylo na diagonále** (tím zajistíme, že nebudeme dělit nulou)
- nevýhodnou je prohledávání
	- s postupující GEM se ale zrychluje - prohledáváme méně prvků
- řádková pivotace
	- princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení $x$ (prohození sloupců prohází složky řešení)
- GEM s pivotací je **realizovatelná pro libovolnou regulární matici** $A$

**Existence řešení**
- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární
	- lineárně nezávislé řádky a sloupce
	- $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$

### Metoda LU-rozkladu

Spočívá v rozkladu matice $A$ na horní $U$ a dolní $L$ trojúhelníkovou matici.
- stejná přesnost i pracnost jako GEM

**LU-rozklad**
- $A$ ... regulární matice řádu N
	- lze rozložit na $A = LU$
- $L$ ... dolní trojúhelníková matice řádu N
- $U$ ... horní trojúhelníková matice řádu N

LU-rozklad **existuje**, pokud lze provést pivotaci tak, aby se eliminovaly nuly na diagonále.

**Jednoznačnost LU-rozkladu**
- LU-rozklad **není jednoznačný**. Jednoznačnosti je možné dosáhnout tak, že si zvolíme diagonálu jedné z matic (např. do L dáme na diagonálu jedničky).

**Řešení soustavy LU-metodou**
1. zadáno $A, b$, provedeme LU-rozklad: $A = LU$
2. řešení trojúhelníkové soustavy: $Ly = b$ - hledám $y$
3. řešení trojúhelníkové soustavy: $Ux = y$ - hledám $x$

**Využití LU-metody**
- když počítáme více soustav, kde se mění pouze pravá strana $b$
	- stačí provést pouze jeden LU-rozklad (náročný) a poté už jen několikrát opakovat řešení trojúhelníkových soustav (jednoduchý výpočet - výhoda oproti GEM)
- řešení maticových soustav $AX = B$
- nedourčené soustavy - soustavy se singulární maticí
	- máme méně rovnic než neznámých (dovyrobíme si další řádky)

**Choleského rozklad**
- speciální případ LU-rozkladu pro **pozitivně definitní matice**
- matici $A$ rozložíme na součin dolní trojúhelníkové matice a její transpozice
	- $A = L\cdot L^T$
- **symetrická a pozitivně definitní matice** má vždy Chol. rozklad
	- díky symetrii snížíme počet aritmetických operací na polovinu
- rozklad je jednoznačný, pokud jsou diagonální prvky $L$ kladné

Stabilita LU-rozkladu
- **obecně stabilní**, pokud se provádí **s pivotací** (permutací řádků)
- bez pivotace může být nestabilní, pokud má matice $A$ velmi malé nebo velké prvky
- Chol. rozklad je numericky stabilní pro pozitivně definitní matice

### Srovnání metod

**GEM**
- efektivní pro řešení soustav, na PC pro tisíce rovnic
- při **změně pravé strany** se musí celý výpočet **opakovat**

**LU**
- efektivní pro **více pravých stran**

**Choleského**
- méně náročná pro **symetrické a pozitivně definitní matice**

### Přímé metody pro soustavy se speciální maticí

**Symetrická matice**
- používáme **symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu**
	- $A = LDL^T$ - $D$ je diagonální matice
	- rozklad zachovává symetrii původní matice
	- efektivnější, rychlejší a stabilnější než obecná LU-metoda
- **symetrická + pozitivně definitní**
	- Choleského rozklad

**Pásová matice**
- řídká matice s **nenulovými prvky kolem diagonály**
- **zachovávají se pozice nul** (to v obecném případě neplatí)
- **pásová + symetrická + pozitivně definitní**
	- Choleského rozklad

**3-diagonální matice**
- pásová matice, kde jsou nenulové prvky na 3 diagonálách
- metoda faktorizace
	- $A \cdot Y = F$ ... soustava $n+1$ lineárních algebraických rovnic
	- přímý chod + zpětný chod