3.8 KiB
Nekonečné řady
Mějme dánu posloupnost (a_{n})
reálných čísel.
Nekonečná řada je symbol \displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},\quad
kterým označujeme výraz a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots
.
Posloupnost částečných součtů
Posloupnost částečných součtů řady \displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad
je posloupnost (s_n)
, kde
$$
\begin{matrix}
s_{1} = a_{1} \
s_{2} = a_{1} + a_{2} \
s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \
\vdots \
s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}
\end{matrix}
Čísla a_{n}
jsou členy řady, čísla s_{n}
jsou částečné součty řady. Pokud existuje limita \lim_{ n \to \infty }{s_{n} = s \in \mathbb{R}^*}
, potom řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad
má součet s
a tuto skutečnost zapisujeme jako \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} = s
.
Konvergence a divergence
Mějme dánu řadu \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad
a nechť (s_{n})
je její posloupnost částečných součtů. Řada \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}
je
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
K | konvergentní | (s_n) konverguje |
D | divergentní | (s_{n}) diverguje |
divergentní k \pm\infty |
(s_{n}) diverguje k \pm\infty |
Pro geometrickou řadu \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots\quad
platí
$$
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases}
& \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q} & \text{pro } q \neq 1, \
& n & \text{pro } q = 1,
\end{cases}
$$
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} \begin{cases}
& = \displaystyle\frac{1}{1-q} & \text{pro } \vert q\vert < 1, \
& = +\infty & \text{pro } q \geq 1, \
& \text{diverguje} & \text{pro } q \leq -1.
\end{cases}
Je-li \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}, \quad a,b \in \mathbb{R}^*, \quad c,d \in \mathbb{R}, \quad
potom platí
$$
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (c \cdot a_{n} + d \cdot b_{n}) = c \cdot a + d \cdot b
pokud je výraz (c \cdot a + d \cdot b)
definován v \mathbb{R}^*
(tj. pokud není neurčitým výrazem).
Nutná podmínka konvergence řady
Je-li řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad
konvergentní, potom \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = 0
.
Poznámka: Řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\quad
konverguje pro \alpha > 1
a diverguje pro \alpha \leq 1
.
Kritéria
Srovnávací kritérium
Mějme dvě řady \sum a_{n}, \sum b_{n}
takové, že \forall \, n \in \mathbb{N} : 0 \leq a_{n} \leq b_{n}
.
- Jestliže řada
\sum b_{n}
konverguje, potom konverguje také řada\sum a_{n}
. - Jestliže řada
\sum a_{n}
diverguje, potom diverguje také řada\sum b_{n}
.
Limitní srovnávací kritérium
Mějme dánu řadu \sum a_{n}
s nezápornými členy a čadu \sum b_{n}
s kladnými členy. Pokud existuje vlastní limita \displaystyle\quad\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n}}{b_{n}}} > 0,\quad
potom platí:
- Řada
\sum a_{n}
konverguje právě tehdy, když řada\sum b_{n}
konverguje. - Řada
\sum a_{n}
diverguje právě tehdy, když řada\sum b_{n}
konverguje.
d’Alembertovo krit ́erium
Mějme dánu řadu \sum a_{n}
s kladnými členy.
- Jestliže existuje
q \in (0, 1)
takové, že\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad
potom řada\sum a_{n}
konverguje. - Jestliže
\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \geq 1, \quad
potom řada\sum a_{n}
diverguje.