**Nekonečná řada** je symbol $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},\quad$ kterým označujeme výraz $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$.
### Posloupnost částečných součtů
**Posloupnost částečných součtů** řady $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ je posloupnost $(s_n)$, kde
$$
\begin{matrix}
s_{1} = a_{1} \\
s_{2} = a_{1} + a_{2} \\
s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \\
\vdots \\
s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}
\end{matrix}
$$
Čísla $a_{n}$ jsou **členy řady**, čísla $s_{n}$ jsou **částečné součty řady**. Pokud existuje limita $\lim_{ n \to \infty }{s_{n} = s \in \mathbb{R}^*}$, potom řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ má **součet** $s$ a tuto skutečnost zapisujeme jako $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} = s$.
### Konvergence a divergence
Mějme dánu řadu $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ a nechť $(s_{n})$ je její posloupnost částečných součtů. Řada $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ je
**Poznámka**: Řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}\quad$ konverguje pro $\alpha > 1$ a diverguje pro $\alpha \leq 1$.
## Kritéria
#### Srovnávací kritérium
Mějme dvě řady $\sum a_{n}, \sum b_{n}$ takové, že $\forall \, n \in \mathbb{N} : 0 \leq a_{n} \leq b_{n}$.
1) Jestliže řada $\sum b_{n}$ konverguje, potom konverguje také řada $\sum a_{n}$.
2) Jestliže řada $\sum a_{n}$ diverguje, potom diverguje také řada $\sum b_{n}$.
#### Limitní srovnávací kritérium
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **nezápornými** členy a čadu $\sum b_{n}$ s **kladnými** členy. Pokud existuje vlastní limita $\displaystyle\quad\lim_{ n \to \infty }{\frac{a_{n}}{b_{n}}} > 0,\quad$ potom platí:
1) Řada $\sum a_{n}$ konverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
2) Řada $\sum a_{n}$ diverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
#### d’Alembertovo krit ́erium
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **kladnými** členy.
1) Jestliže existuje $q \in (0, 1)$ takové, že $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.
2) Jestliže $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \geq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ diverguje.