5.7 KiB
Lineární vektorové prostory
Příklady:
zápis | typ |
---|---|
R^2, R^3 |
geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
R^n |
n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
M_{m,n} |
všechny matice typu m/n (nad R , nad C ) |
P_n |
všechny polynomy stupně nejvýše n |
C(a,b) |
všechny funkce spojité na <a, b> |
Vektorový prostor V nad tělesem K:
- sčítání:
V + V \to V
- násobení:
K \cdot V \to V
Lineární vektorový prostor
Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$ (nad \mathbb{C}
nebo \mathbb{R}
) je neprázdná množina \mathcal{V}
, kde pro každé \vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}
a pro každé k, l \in \mathbb T
platí:
vlastnost | název |
---|---|
existuje právě jeden prvek \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = \vec x + \vec y |
sčítání |
existuje právě jeden prvek \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = k \vec x |
násobení |
(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z) |
|
existuje prvek \vec o \in \mathcal{V} takový, že \vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x |
neutrální prvek |
existuje prvek -\vec{x} takový, že \vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{o} |
opačný prvek |
(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x |
|
(kl)\vec x = k(l\vec x) |
|
1\vec x = \vec x |
|
k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y |
Základní vlastnosti LVP
- nulový prvek je určen jednoznačně
- je-li
\vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}
, pak\vec{y}=\vec{z}
- pro všechna
\vec{x} \in \mathcal{V}
je opačný prvek-\vec{x}
určen jednoznačně - je-li
\vec{x}+\vec{y}=\vec{z}
, pak\vec{x}=\vec{z}+(-\vec{y})
- pro všechna
\vec{x} \in \mathcal{V}
ak \in \mathbb{R}
je0\vec{x}=k\vec{o}=\vec{o}
- pro všechna
\vec{x} \in \mathcal{V}
je-1\vec{x}=-\vec{x}
- je-li
k\vec{x}=\vec{o}
, pak buďk=0
nebo\vec{x}=\vec{o}
Podprostor
Máme lineární vektorový prostor V
a jeho podprostor U \subset V
, jestliže
- pro každé
\vec{u}, \vec{v} \in U
je\vec{u} + \vec{v} \in U
- pro každé
\vec{u} \in U
a pro každéa \in K
jea \cdot \vec{u} \in U
- vyplývá, že v podprostoru
U
bude vždy i nulový vektor (a = 0
)
- vyplývá, že v podprostoru
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
Lineární kombinace
Prvek \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}
, kde \vec v_{i}
jsou prvky LVP \mathcal{V}
a \lambda_{i}
jsou koeficienty.
Lineární (ne)závislost
Prvky nazveme lineárně nezávislými (LN), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků. V opačném případě budou prvky lineárně závislými (LZ).
Lineární obal
Všechny lineární kombinace zadaných vektorů.
- zapisujeme
\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}
Generující množina
Množina M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V
generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy \langle M \rangle = V
.
Báze
Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
- zápis:
\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}
Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).
Dimenze V
Počet prvků báze V se nazývá dimenze V a značí se dim(V)
.
Dimenzi vypočítám zjištěním báze, kde počet prvků báze je roven dimenzi V.
Souřadnice v bázi
Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}
LK v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}
se nazývají souřadnice prvku v v bází B.
- značí se
\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T
Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:
B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]
B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]
Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}
\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}
Určení souřadnic vektoru v bázi
- Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
- Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
- Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
- Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
Operace s podprostory
- Sjednocení
u_{1} \cup u_{2}
- Musí platit:
u_{1} \subseteq u_{2}
u_{2} \subseteq u_{1}
- Musí platit: