38 lines
2.4 KiB
Markdown
38 lines
2.4 KiB
Markdown
# Neurčité integrály
|
|
|
|
## Primitivní funkce
|
|
|
|
Mějme funkce $f$ a $F$, které jsou definované alespoň na intervalu $(a;b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Řekněme, že funkce $F$ je **primitivní funkcí** k funkci $f$ na intervalu $(a;b)$, pokud
|
|
|
|
$$\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).$$
|
|
|
|
Nechť $F$ je primitivní funkce k funkci $f$ na intervalu $(a; b)$. Potom platí:
|
|
1) $F$ je spojitá na $(a; b)$.
|
|
2) Každá funkce ve tvaru $y = F (x) + C$, kde $C \in \mathbb{R}$, je primitivní funkcí k funkci $f$ na $(a; b)$.
|
|
3) Každá primitivní funkce k funkci $f$ na $(a; b)$ je ve tvaru $y = F (x) + C$, kde $C \in R$.
|
|
|
|
## Neurčitý integrál
|
|
|
|
Mějme funkce $f$ a $F$, které jsou definované alespoň na intervalu $(a;b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Existuje-li primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na $(a;b)$, potom říkáme, že funkce $f$ je **integrovatelná** na intervalu $(a;b)$ a **neurčitým integrálem** funkce $f$ na intervalu $(a;b)$ rozumíme množinu __všech__ primitivních funkcí k funkci $f$ na $(a;b)$:
|
|
$$
|
|
\int f(x) \, dx = {F(x) + C : C \in \mathbb{R}} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})
|
|
$$
|
|
|
|
Je-li funkce $f$ spojitá na intervalu $(a; b)$, potom je na tomto intervalu **integrovatelná**.
|
|
|
|
## Integrační vzorce
|
|
|
|
| funkce | integrace |
|
|
| ---------------------------------------- | ------------------------------------- |
|
|
| $0$ | $C$ |
|
|
| $1$ | $x + C$ |
|
|
| $x^n$ | $\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}$ |
|
|
| $\frac{dx}{x}$ | $\ln \vert x\vert + C$ |
|
|
| $e^x$ | $e^x + C$ |
|
|
| $a^x$ | $\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)} + C$ |
|
|
| $\sin(x)$ | $-\cos(x) + C$ |
|
|
| $\cos(x)$ | $\sin(x) + C$ |
|
|
| $\displaystyle\frac{dx}{\cos^2x}$ | $\tan(x) + C$ |
|
|
| $\displaystyle\frac{dx}{\sin^2x}$ | $-\cot(x) + C$ |
|
|
| $\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}$ | $\arctan(x) + C$ |
|
|
| $\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ | $\arcsin(x) + C$ |
|