# Neurčité integrály

## Primitivní funkce

Mějme funkce $f$ a $F$, které jsou definované alespoň na intervalu $(a;b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Řekněme, že funkce $F$ je **primitivní funkcí** k funkci $f$ na intervalu $(a;b)$, pokud

$$\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).$$

Nechť $F$ je primitivní funkce k funkci $f$ na intervalu $(a; b)$. Potom platí:  
1) $F$ je spojitá na $(a; b)$.  
2) Každá funkce ve tvaru $y = F (x) + C$, kde $C \in \mathbb{R}$, je primitivní funkcí k funkci $f$ na $(a; b)$.  
3) Každá primitivní funkce k funkci $f$ na $(a; b)$ je ve tvaru $y = F (x) + C$, kde $C \in R$.

## Neurčitý integrál

Mějme funkce $f$ a $F$, které jsou definované alespoň na intervalu $(a;b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$.  Existuje-li primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na $(a;b)$, potom říkáme, že funkce $f$ je **integrovatelná** na intervalu $(a;b)$ a **neurčitým integrálem** funkce $f$ na intervalu $(a;b)$ rozumíme množinu __všech__ primitivních funkcí k funkci $f$ na $(a;b)$:
$$
\int f(x) \, dx = {F(x) + C : C \in \mathbb{R}} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})
$$

Je-li funkce $f$ spojitá na intervalu $(a; b)$, potom je na tomto intervalu **integrovatelná**.

## Integrační vzorce

| funkce                                   | integrace                             |
| ---------------------------------------- | ------------------------------------- |
| $0$                                      | $C$                                   |
| $1$                                      | $x + C$                               |
| $x^n$                                    | $\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}$    |
| $\frac{dx}{x}$                           | $\ln \vert x\vert + C$                |
| $e^x$                                    | $e^x + C$                             |
| $a^x$                                    | $\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)} + C$ |
| $\sin(x)$                                | $-\cos(x) + C$                        |
| $\cos(x)$                                | $\sin(x) + C$                         |
| $\displaystyle\frac{dx}{\cos^2x}$        | $\tan(x) + C$                         |
| $\displaystyle\frac{dx}{\sin^2x}$        | $-\cot(x) + C$                        |
| $\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}$          | $\arctan(x) + C$                      |
| $\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ | $\arcsin(x) + C$                      |