46 lines
No EOL
2.8 KiB
Markdown
46 lines
No EOL
2.8 KiB
Markdown
# Pojmy z LAA
|
|
### inverzní matice, regulární a singulární matice
|
|
- **inverzní matice**
|
|
- X je inverzní k A, jestliže platí $A * X = X * A = I$
|
|
|
|
- **regulární matice**
|
|
- **čtvercová** matice
|
|
| vlastnost | výraz |
|
|
| ----------------------------------------- | ------------------------- |
|
|
| její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$ |
|
|
| má **nenulový determinant** | $\det{A} \neq 0$ |
|
|
| **existuje** k ní **inverzní matice** | $\text{existuje } A^{-1}$ |
|
|
- Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici**.
|
|
|
|
- **singulární matice**
|
|
| vlastnost | výraz |
|
|
| ------------------------------------------ | --------------------------- |
|
|
| její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n$ |
|
|
| má **nulový determinant** | $\det{A} = 0$ |
|
|
| **neexistuje** k ní **inverzní matice** | $\text{neexistuje } A^{-1}$ |
|
|
|
|
### lineární, identické zobrazení, jádro, obraz, matice lineárního zobrazení
|
|
- zobrazení (funkce) => množiny M do množiny N je předpis, kdy každému prvku z M je přiřazen právě jeden prvek z N
|
|
- **lineární zobrazení** (homomorfizmus)
|
|
- máme ***L. V. P.***: $U, V$
|
|
- Zobrazení $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ je **lineární zobrazení** pokud $\forall x, y \in U$ a $\forall c \in \mathbb{R}$ platí:
|
|
- 1. $\mathbb{L}(x+y) = \mathbb{L}(x) + \mathbb{L}(y)$
|
|
- 2. $\mathbb{L}(c*x) = c * \mathbb{L}(x)$
|
|
|
|
- **identické zobrazení**
|
|
- zobrazení $\mathbb{F}$ pro které platí $\mathbb{F}(x) = (x)$
|
|
|
|
- **jádro**
|
|
- Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
|
|
- **jádro lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $x \in U$ takových, že $\mathbb{L}(x) = 0_v$:
|
|
- Ker($\mathbb{L}) = \left \{ x \in U; \mathbb{L}(x) = 0_v\right \}$
|
|
|
|
- **obraz**
|
|
- Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
|
|
- **obraz lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $y \in V$ takových, že $\exists \space x \in U$ tak, že $\mathbb{L}(x) = y$:
|
|
- $Im \space \mathbb{L} = \{y \in V; \space \exists x \in U, \space \mathbb{L}(x) = y \}$
|
|
|
|
- **matice lineárního zobrazení**
|
|
- Máme ***L. V. P.***: $U, V$ a ***linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
|
|
- **matice lineárního zobrazení** je matice M pro kterou platí: $\widehat{\mathbb{L}(u)} = M * \vec u$
|
|
- M = [$\widehat{\mathbb{L}(u_1)} \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_2)} \space\space ... \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_n)}$] |