FAV-ZCU/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md

Stacionární iterační metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda, SOR metoda. Nutná a postačující podmínka konvergence iterační metody, postačující podmínka konvergence iterační metody.

Stacionární iterační metody SLAR

• používány pro řídké matice
• pro plnou matici raději GEM nebo LU-rozklad
• stacionární = nalezené rovnice se nemění, vhodné pro výpočty na PC

• soustavu přepíšeme:
  • Ax = b \to x = Hx+g
• iterační formule
  • x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g
  • H rozhoduje o kvalitě metody

• zvolíme počáteční aproximaci x^{(0)}
• zastavovací podmínka \Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon

Jacobiho metoda

• matice musí být regulární - soustava má jedno řešení
  • pokud je ostře diagonálně dominantní, tak konverguje vždy
• z $i$-té rovnice (řádky) vyjádříme složku x_{i} vektoru x
  • $i$-tá rovnice ... a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + \dots a_{in}x_{n} = b_{i}
• iterační formule
  • \displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^n_{j=1; \, j\neq i} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right) pro a_{ii} \neq 0
  • od b_{i} odečítáme sumu všech a_{ij} přes všechna j kde j\neq i

Gaussova-Seidelova metoda

• stejný princip jako u Jacobihovy metody, ale pokud při výpočtu $(k+1)$-iterace již známe (k+1) iteraci u některých složek, tak ji použijeme
• iterační formule
  • \displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^{i-1}_{j=1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} - \sum^{n}_{j=i+1} a_{ij} x_{j}^{(k) }\right)
  • od b_{i} odečítáme sumu $(k+1)$-tých iterací u j < i-1 a sumu $k$-tých iterací u j > i+1

SOR metoda

• princip
  • vychází z Gauss-Seidelovy metody
  • vyjádříme $(k+1)$-iteraci pomocí $k$-té iterace a změny ... x_{i}^{(k+1)} = x_{i}^{(k)} + r_{i}^{(k)}
  • idea: k urychlení nepřičteme změnu r_{i}^{(k)} ale její násobek \omega\cdot r_{i}^{(k)}
• iterační formule
  • \displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \omega\cdot x_{i,GS}^{(k+1)} + (1-\omega)x_{i}^{(k)}
  • lineární kombinace $(k+1)$-iterace GS-metody a $k$-té iterace metody SOR
• volba relaxačního parametru \omega
  • musíme si zvolit parametr \omega \in (0,2)
  • tento parametr může metodu zhoršit či vylepšit oproti GS
  • vzorec, který (ne vždy) dokáže vypočítat optimální \omega
    • \displaystyle\omega_\text{opt} = \frac{2}{1 + \sqrt{ 1- \rho(H_{J}) }}
    • \rho(H_{J}) ... spektrální poloměr Jacobiho matice H

Konvergence iteračních metod

\displaystyle\lim_{ x \to \infty } x^{(k)} = x^*

Nutná a postačující podmínka konvergence

• \rho(H) < 1 \Longleftrightarrow metoda konverguje pro libovolné x_{0} \in R \Longleftrightarrow úloha je stabilní
  • \rho(H) = \max|\lambda_{i}(H)| ... spektrální poloměr matice H
    • maximální vlastní číslo matice H v absolutní hodnotě
• čím blíž bude spektrální poloměr 1, tím bude metoda pomalejší
  • snaha, dostat ho co nejvíce k 0

Postačující podmínka konvergence

• \Vert H\Vert \leq q < 1 \implies metoda konverguje při libovolné volbě x_{0}
  • Euklidovská maticová norma ... \displaystyle\Vert A\Vert = \sqrt{ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a^2_{ij} }

• podmínka pro konvergenci SOR
  • \rho(H_{SOR}) \geq |\omega-1| \quad \forall \omega \in R

Konvergenční věty

• podmínky pro H jsou nepraktické, H je těžko spočitatelná
• A je ostře diagonálně dominantní \implies konverguje Jacobiho i GS metoda pro libovolnou volbu x_{0}
• A je symetrická a poz. definitní \implies konverguje GS metoda
• A je symetrická a poz. definitní, 0 < \omega < 2 \implies SOR metoda konverguje