Úprava 4. okruhu z NM

KMA NM/Zkouška/04. okruh.md

@@ -1,27 +1,33 @@
 **Stacionární iterační metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda, SOR metoda. Nutná a postačující podmínka konvergence iterační metody, postačující podmínka konvergence iterační metody.**
 
-### Iterační metody
+### Stacionární iterační metody SLAR
 
-- používány pro řídké matice
++ používány pro řídké matice
++ pro plnou matici raději GEM nebo LU-rozklad
++ **stacionární** = nalezené rovnice se nemění, vhodné pro výpočty na PC
 
-Obecný zápis
-- $Ax - b = 0 \leftrightarrow F(x) = 0$ přepíšeme na tvar $x = Hx+g \leftrightarrow x = \Phi(x)$
-- iterační formule ... $x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g$
+- soustavu přepíšeme:
+	- $Ax = b \to x = Hx+g$
+- iterační formule
+	- $x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g$
 	- $H$ rozhoduje o kvalitě metody
-- počáteční aproximace $x^{(0)}$, zastavovací podmínka $\Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon$
++ zvolíme počáteční aproximaci $x^{(0)}$
++ zastavovací podmínka $\Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon$
 
 **Jacobiho metoda**
-- z $i$-té rovnice vyjádřím $i$-tou složku vektoru $x$
+- matice musí být **regulární** - soustava má jedno řešení
+	- pokud je ostře diagonálně dominantní, tak konverguje vždy
+- z $i$-té rovnice (řádky) vyjádříme složku $x_{i}$ vektoru $x$
 	- $i$-tá rovnice ... $a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + \dots a_{in}x_{n} = b_{i}$
 - iterační formule
-	- $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^n_{j=1; j\neq i} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right)$ pro $a_{ii} \neq 0$
-	- $H$ ... řádky jsou jednotlivá vyjádření $x_{i}$
-	- $g$ ... sestavený z členů bez $x$ ve vyjádření $x_{i}$
+	- $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^n_{j=1; \, j\neq i} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right)$ pro $a_{ii} \neq 0$
+	- od $b_{i}$ odečítáme sumu všech $a_{ij}$ přes všechna $j$ kde $j\neq i$
 
 **Gaussova-Seidelova metoda**
 - stejný princip jako u Jacobihovy metody, ale pokud při výpočtu $(k+1)$-iterace již známe $(k+1)$ iteraci u některých složek, tak ji použijeme
 - iterační formule
 	- $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^{i-1}_{j=1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} - \sum^{n}_{j=i+1} a_{ij} x_{j}^{(k) }\right)$
+	- od $b_{i}$ odečítáme sumu $(k+1)$-tých iterací u $j < i-1$ a sumu $k$-tých iterací u $j > i+1$
 
 **SOR metoda**
 - princip
@@ -31,8 +37,8 @@ Obecný zápis
 - iterační formule
 	- $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \omega\cdot x_{i,GS}^{(k+1)} + (1-\omega)x_{i}^{(k)}$
 	- lineární kombinace $(k+1)$-iterace GS-metody a $k$-té iterace metody SOR
-- volba $\omega$
-	- musíme si zvolit parametr $\omega$
+- volba **relaxačního parametru** $\omega$
+	- musíme si zvolit parametr $\omega \in (0,2)$
 	- tento parametr může metodu zhoršit či vylepšit oproti GS
 	- vzorec, který (ne vždy) dokáže vypočítat optimální $\omega$
 		- $\displaystyle\omega_\text{opt} = \frac{2}{1 + \sqrt{ 1- \rho(H_{J}) }}$
@@ -42,21 +48,21 @@ Obecný zápis
 
 $\displaystyle\lim_{ x \to \infty } x^{(k)} = x^*$
 
-Nutná a postačující podmínka konvergence
-- $\rho(H) = \max|\lambda_{i}(H)| < 1 \Longleftrightarrow$ metoda konverguje $\Longleftrightarrow$ úloha je stabilní
-	- $\rho(H)$ ... spektrální poloměr matice $H$ = maximální vl. číslo matice $H$ v abs. hodnotě
+**Nutná a postačující podmínka konvergence**
+- $\rho(H) < 1$ $\Longleftrightarrow$ metoda konverguje pro libovolné $x_{0} \in R \Longleftrightarrow$ úloha je stabilní
+	- $\rho(H) = \max|\lambda_{i}(H)|$ ... spektrální poloměr matice $H$
+		- maximální vlastní číslo matice $H$ v absolutní hodnotě
 - čím blíž bude spektrální poloměr 1, tím bude metoda pomalejší
 	- snaha, dostat ho co nejvíce k 0
 
-Postačující podmínka konvergence
-- $\Vert H\Vert \leq q < 1 \implies$ metoda je konvergentní
-	- multiplikativní maticová norma: $\Vert A\cdot B\Vert \leq \Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert$
-- podmínka pro konvergenci SOR
+**Postačující podmínka konvergence**
+- $\Vert H\Vert \leq q < 1 \implies$ metoda konverguje při libovolné volbě $x_{0}$
+	- Euklidovská maticová norma ... $\displaystyle\Vert A\Vert = \sqrt{ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a^2_{ij} }$
++ podmínka pro konvergenci SOR
 	- $\rho(H_{SOR}) \geq |\omega-1| \quad \forall \omega \in R$
 
 Konvergenční věty
 - podmínky pro $H$ jsou nepraktické, $H$ je těžko spočitatelná
 - $A$ je ostře diagonálně dominantní $\implies$ konverguje Jacobiho i GS metoda pro libovolnou volbu $x_{0}$
 - $A$ je symetrická a poz. definitní $\implies$ konverguje GS metoda
-- SOR metoda konverguje $\implies 0 < \omega < 2$
 - $A$ je symetrická a poz. definitní, $0 < \omega < 2 \implies$ SOR metoda konverguje