FAV-ZCU/KMA NM/Soustava lineárních rovnic.md

Soustava lineárních rovnic

Metody řešení nelineárních rovnic

• startovací (vždy konvergují)
• zpřesňující
• speciální (např. pro polynomy)

Startovací metody

• metoda půlení intervalu (bisekce)
• metoda prosté iterace

Zpřesňující metody

• Newtonova metoda
• Mullerova metoda

GEM

• provést pivotizaci - do první řádek prohodíme s řádkem s nejvyšším číslem v prvním sloupci
• sloupce raději neprohazovat

LU rozklad

• první sloupec L je stejný
• první řádek U je stejný

Jacobiova metoda

$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \ 1 & 4 & 0 \ 0 & 1 & 5 \end{bmatrix} \qquad b = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} \qquad x_{0} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}

1. kontrola diagonální dominance
   • \vert 3\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert
   • \vert 4\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert
   • \vert 5\vert > \vert 0\vert + \vert 1\vert
2. sestavení rovnic a vyjádření x, y, z
   • 3x + y = 1
     • \to x = \frac{1}{3}(1 - y)
   • x + 4y = 2
     • \to y = \frac{1}{4}(2 - x)
   • y + 5z = 3
     • \to z = \frac{1}{5}(3 - y)

k	0.	1.	2.	3.	4.
x	0	0.333333333	0.166666667	0.194444444	0.180555556
y	0	0.5	0.416666667	0.458333333	0.451388889
z	0	0.6	0.5	0.516666667	0.508333333

Gauss-Seidelova metoda

Stejná, jako Jacobiova metoda, ale rovnou používáme s vypočítanými hodnotami.

• provedeme výpočet pro x = \dots, takže už ve výpočtu y použijeme nové x

Sestavení rovnice

• x^{(k+1)} = \frac{1}{3}(1 - y^{(k)})
• y^{(k+1)} = \frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})
• z^{(k+1)} = \frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})

k	0.	1.	2.	3.
x	0	0.333333333	0.194444444	0.18287037
y	0	0.416666667	0.451388889	0.454282407
z	0	0.516666667	0.509722222	0.509143519

Metoda SOR

Tato metoda vychází z GS metody, akorát navíc přidává relaxační koeficient \omega \in (0,2).

• \omega = 1 - jedná se o GS metodu
• \omega \in (0,1) - jedná se o metodu SUR
• \omega \in (1,2) - jedná se o metodu SOR

Postup

1. kontrola diagonální dominance
2. sestavení rovnic GS metody
3. přidání relaxačního koeficientu
   • x^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{3}(1 - y^{(k)})] + (1 - \omega)x^{(k)}
   • y^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})] + (1 - \omega)y^{(k)}
   • z^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})] + (1 - \omega)z^{(k)}

Zvolíme \omega = 1.05, \epsilon = 0.01.

k	0.	1.	2.
x	0	0.35	0.18090625
y	0	0.433125	0.455855859
z	0	0.53904375	0.507318082