99 lines
3 KiB
Markdown
99 lines
3 KiB
Markdown
|
# Soustava lineárních rovnic
|
||
|
|
|
||
|
|
Metody řešení nelineárních rovnic
|
||
|
|
- startovací (vždy konvergují)
|
||
|
|
- zpřesňující
|
||
|
|
- speciální (např. pro polynomy)
|
||
|
|
|
||
|
|
Startovací metody
|
||
|
|
- metoda půlení intervalu (bisekce)
|
||
|
|
- metoda prosté iterace
|
||
|
|
|
||
|
|
Zpřesňující metody
|
||
|
|
- Newtonova metoda
|
||
|
|
- Mullerova metoda
|
||
|
|
|
||
|
|
GEM
|
||
|
|
- provést pivotizaci - do první řádek prohodíme s řádkem s nejvyšším číslem v prvním sloupci
|
||
|
|
- sloupce raději neprohazovat
|
||
|
|
|
||
|
|
LU rozklad
|
||
|
|
- první sloupec L je stejný
|
||
|
|
- první řádek U je stejný
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
## Jacobiova metoda
|
||
|
|
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
A = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
3 & 1 & 0 \\
|
||
|
|
1 & 4 & 0 \\
|
||
|
|
0 & 1 & 5
|
||
|
|
\end{bmatrix} \qquad b = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
1 \\
|
||
|
|
2 \\
|
||
|
|
3
|
||
|
|
\end{bmatrix} \qquad x_{0} = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
0 \\
|
||
|
|
0 \\
|
||
|
|
0
|
||
|
|
\end{bmatrix}
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
|
||
|
|
1. kontrola diagonální dominance
|
||
|
|
- $\vert 3\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert$
|
||
|
|
- $\vert 4\vert > \vert 1\vert + \vert 0\vert$
|
||
|
|
- $\vert 5\vert > \vert 0\vert + \vert 1\vert$
|
||
|
|
2. sestavení rovnic a vyjádření $x, y, z$
|
||
|
|
- $3x + y = 1$
|
||
|
|
- $\to x = \frac{1}{3}(1 - y)$
|
||
|
|
- $x + 4y = 2$
|
||
|
|
- $\to y = \frac{1}{4}(2 - x)$
|
||
|
|
- $y + 5z = 3$
|
||
|
|
- $\to z = \frac{1}{5}(3 - y)$
|
||
|
|
|
||
|
|
| k | 0. | 1. | 2. | 3. | 4. |
|
||
|
|
| --- | --- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- |
|
||
|
|
| x | $0$ | $0.333333333$ | $0.166666667$ | $0.194444444$ | $0.180555556$ |
|
||
|
|
| y | $0$ | $0.5$ | $0.416666667$ | $0.458333333$ | $0.451388889$ |
|
||
|
|
| z | $0$ | $0.6$ | $0.5$ | $0.516666667$ | $0.508333333$ |
|
||
|
|
|
||
|
|
## Gauss-Seidelova metoda
|
||
|
|
|
||
|
|
Stejná, jako Jacobiova metoda, ale rovnou používáme s vypočítanými hodnotami.
|
||
|
|
- provedeme výpočet pro $x = \dots$, takže už ve výpočtu $y$ použijeme nové $x$
|
||
|
|
|
||
|
|
Sestavení rovnice
|
||
|
|
- $x^{(k+1)} = \frac{1}{3}(1 - y^{(k)})$
|
||
|
|
- $y^{(k+1)} = \frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})$
|
||
|
|
- $z^{(k+1)} = \frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})$
|
||
|
|
|
||
|
|
| k | 0. | 1. | 2. | 3. |
|
||
|
|
| --- | --- | ------------- | ------------- | ------------- |
|
||
|
|
| x | $0$ | $0.333333333$ | $0.194444444$ | $0.18287037$ |
|
||
|
|
| y | $0$ | $0.416666667$ | $0.451388889$ | $0.454282407$ |
|
||
|
|
| z | $0$ | $0.516666667$ | $0.509722222$ | $0.509143519$ |
|
||
|
|
|
||
|
|
## Metoda SOR
|
||
|
|
|
||
|
|
Tato metoda vychází z GS metody, akorát navíc přidává relaxační koeficient $\omega \in (0,2)$.
|
||
|
|
- $\omega = 1$ - jedná se o GS metodu
|
||
|
|
- $\omega \in (0,1)$ - jedná se o metodu SUR
|
||
|
|
- $\omega \in (1,2)$ - jedná se o metodu SOR
|
||
|
|
|
||
|
|
Postup
|
||
|
|
1. kontrola diagonální dominance
|
||
|
|
2. sestavení rovnic GS metody
|
||
|
|
3. přidání relaxačního koeficientu
|
||
|
|
- $x^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{3}(1 - y^{(k)})] + (1 - \omega)x^{(k)}$
|
||
|
|
- $y^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{4}(2 - x^{(k+1)})] + (1 - \omega)y^{(k)}$
|
||
|
|
- $z^{(k+1)} = \omega \cdot [\frac{1}{5}(3 - y^{(k+1)})] + (1 - \omega)z^{(k)}$
|
||
|
|
|
||
|
|
Zvolíme $\omega = 1.05, \epsilon = 0.01$.
|
||
|
|
|
||
|
|
| k | 0. | 1. | 2. |
|
||
|
|
| --- | --- | ------------ | ------------- |
|
||
|
|
| x | $0$ | $0.35$ | $0.18090625$ |
|
||
|
|
| y | $0$ | $0.433125$ | $0.455855859$ |
|
||
|
|
| z | $0$ | $0.53904375$ | $0.507318082$ |
|