FAV-ZCU/KMA NM/Nelineární rovnice.md

Nelineární rovnice

Předpokládáme, že

1. reálná funkce f je spojitá pro x \in \langle a, b\rangle,
2. f(a) \cdot f(b) < 0.

Potom existuje aspoň jedno řešení x rovnice f(x) = 0 na \langle a,b\rangle.

Metoda půlení intervalu

Máme interval \langle a,b\rangle, který budeme půlit. Vypočítáme funkční hodnotu f(s_{i}) v polovině intervalu.

Pokud má funkční hodnota f(s_{i}) stejné znaménko jako funkční hodnota f(a), změníme a = s_{i}, v opačném případě b = s_{i}.

• zastavovací podmínka - velikost intervalu
• výsledek je x = \frac{a+b}{2}
• vždy konverguje, ale velmi pomalu

Metoda prosté iterace

Postup

1. z rovnice vyjádříme některé x
   • x^5 - x = \ln(x+4) do formátu x_{k+1} = \sqrt[5]{ \ln(x_{k}+4) + x_{k} }
2. určíme/dostaneme zadaný \epsilon a x_{0}
   • \epsilon = 0.01
   • x_{0} = 1
3. dosazujeme hodnoty do rovnice, dokud nenastane zastavující podmínka
   • \vert x_{k} - x_{k-1} \vert < \epsilon

k	x_k	\vert x_{k} - x_{k-1}\vert
0	1	-
1	1,211460877	0,211460877
2	1,234081012	0,022620135
3	1,236396294	0,002315282

Postačující podmínky konvergence. Funkce \varphi na intervalu I = \langle a,b\rangle je spojitá a platí:

• \forall x \in I : \varphi(x) \in I (funkce \varphi zobrazuje I do sebe)
• \exists q \in \langle 0, 1) : \vert \varphi(x) - \varphi(y)\vert \leq q\vert x-y\vert \quad \forall x, y \in I (funkce \varphi je kontrakce)

Newtonova metoda

• x_{0} = 1.236396294
  • z metody prosté iterace nebo zadáno
• f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)
  • vše převedeme na jednu stranu rovnice
• f'(x) = 5x^4 - 1 - \frac{1}{x+4}
  • derivací funkce f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)

Hodnotu poté x_{0} zpřesňujeme vzorcem x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}

• zastavovací podmínka \vert x_{k+1} − x_k\vert < \epsilon nebo \vert f(x_k)\vert < \delta

Geometrický význam

• také metoda tečen nebo metoda linearizace
• tvoříme tečny funkce v bodech x_{k}
• hodnota x_{k+1} je průsečíkem tečny s osou x

Modifikovaná Newtonova metoda

• pokud se derivace moc nemění, můžeme místo f'(x_{k}) využívat f'(x_{0})
• tečnou je pouze první přímka, ty následující jsou na ni kolmé

Metoda sečen

• je i pro nediferencovatelné funkce
• f'(x_{k}) nahradíme za \frac{f(x_{k}) - f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}
• potřebujeme znát dvě počáteční hodnoty
• další iterace x_{k+1} je průsečíkem sečny s osou x