67 lines
2.6 KiB
Markdown
67 lines
2.6 KiB
Markdown
|
# Nelineární rovnice
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Předpokládáme, že
|
|||
|
|
1. reálná funkce $f$ je spojitá pro $x \in \langle a, b\rangle$,
|
|||
|
|
2. $f(a) \cdot f(b) < 0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Potom existuje aspoň jedno řešení $x$ rovnice $f(x) = 0$ na $\langle a,b\rangle$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Metoda půlení intervalu
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Máme interval $\langle a,b\rangle$, který budeme půlit. Vypočítáme funkční hodnotu $f(s_{i})$ v polovině intervalu.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Pokud má funkční hodnota $f(s_{i})$ **stejné znaménko** jako funkční hodnota $f(a)$, změníme $a = s_{i}$, v opačném případě $b = s_{i}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- zastavovací podmínka - velikost intervalu
|
|||
|
|
- výsledek je $x = \frac{a+b}{2}$
|
|||
|
|
- vždy konverguje, ale velmi pomalu
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Metoda prosté iterace
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Postup
|
|||
|
|
1. z rovnice vyjádříme některé $x$
|
|||
|
|
- $x^5 - x = \ln(x+4)$ do formátu $x_{k+1} = \sqrt[5]{ \ln(x_{k}+4) + x_{k} }$
|
|||
|
|
2. určíme/dostaneme zadaný $\epsilon$ a $x_{0}$
|
|||
|
|
- $\epsilon = 0.01$
|
|||
|
|
- $x_{0} = 1$
|
|||
|
|
3. dosazujeme hodnoty do rovnice, dokud nenastane zastavující podmínka
|
|||
|
|
- $\vert x_{k} - x_{k-1} \vert < \epsilon$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
| $k$ | $x_k$ | $\vert x_{k} - x_{k-1}\vert$ |
|
|||
|
|
| --- | ----------- | ---------------------------- |
|
|||
|
|
| 0 | 1 | - |
|
|||
|
|
| 1 | 1,211460877 | 0,211460877 |
|
|||
|
|
| 2 | 1,234081012 | 0,022620135 |
|
|||
|
|
| 3 | 1,236396294 | 0,002315282 |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Postačující podmínky konvergence. Funkce $\varphi$ na intervalu $I = \langle a,b\rangle$ je spojitá a platí:
|
|||
|
|
- $\forall x \in I : \varphi(x) \in I$ (funkce $\varphi$ zobrazuje $I$ do sebe)
|
|||
|
|
- $\exists q \in \langle 0, 1) : \vert \varphi(x) - \varphi(y)\vert \leq q\vert x-y\vert \quad \forall x, y \in I$ (funkce $\varphi$ je kontrakce)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Newtonova metoda
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- $x_{0} = 1.236396294$
|
|||
|
|
- z metody prosté iterace nebo zadáno
|
|||
|
|
- $f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)$
|
|||
|
|
- vše převedeme na jednu stranu rovnice
|
|||
|
|
- $f'(x) = 5x^4 - 1 - \frac{1}{x+4}$
|
|||
|
|
- derivací funkce $f(x) = x^5 - x - \ln(x+4)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Hodnotu poté $x_{0}$ zpřesňujeme vzorcem $x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$
|
|||
|
|
- zastavovací podmínka $\vert x_{k+1} − x_k\vert < \epsilon$ nebo $\vert f(x_k)\vert < \delta$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Geometrický význam**
|
|||
|
|
- také metoda tečen nebo metoda linearizace
|
|||
|
|
- tvoříme tečny funkce v bodech $x_{k}$
|
|||
|
|
- hodnota $x_{k+1}$ je průsečíkem tečny s osou $x$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Modifikovaná Newtonova metoda
|
|||
|
|
- pokud se derivace moc nemění, můžeme místo $f'(x_{k})$ využívat $f'(x_{0})$
|
|||
|
|
- tečnou je pouze první přímka, ty následující jsou na ni kolmé
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Metoda sečen
|
|||
|
|
- je i pro nediferencovatelné funkce
|
|||
|
|
- $f'(x_{k})$ nahradíme za $\frac{f(x_{k}) - f(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}$
|
|||
|
|
- potřebujeme znát dvě počáteční hodnoty
|
|||
|
|
- další iterace $x_{k+1}$ je průsečíkem sečny s osou $x$
|