1.6 KiB
Neurčitý integrál
Primitivní funkce
Mějme funkce f
a F
, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b)
, kde -\infty \leq a < b \leq +\infty
. Řekněme, že funkce F
je primitivní funkcí k funkci f
na intervalu (a;b)
, pokud
\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).
Nechť F
je primitivní funkce k funkci f
na intervalu (a; b)
. Potom platí:
F
je spojitá na(a; b)
.- Každá funkce ve tvaru
y = F (x) + C
, kdeC \in \mathbb{R}
, je primitivní funkcí k funkcif
na(a; b)
. - Každá primitivní funkce k funkci
f
na(a; b)
je ve tvaruy = F (x) + C
, kdeC \in R
.
Neurčitý integrál
Mějme funkce f
a F
, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b)
, kde -\infty \leq a < b \leq +\infty
. Existuje-li primitivní funkce F
k funkci f
na (a;b)
, potom říkáme, že funkce f
je integrovatelná na intervalu (a;b)
a neurčitým integrálem funkce f
na intervalu (a;b)
rozumíme množinu všech primitivních funkcí k funkci f
na (a;b)
:
$$
\int f(x) , dx = {F(x) + C : C \in \mathbb{R}} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})
Je-li funkce f
spojitá na intervalu (a; b)
, potom je na tomto intervalu integrovatelná.
Linearita neurčitého integrálu
Mějme funkce f, g
, které jsou integrovatelné na intervalu (a;b)
. Potom na intervalu (a;b)
platí
\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx
,\displaystyle\int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx, \quad c\in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}
.