1.4 KiB
1.4 KiB
Ekvivalence a rozklad množiny
Ekvivalence
Ekvivalence na množině X
je relace R
na množině X
, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
Třídy rozkladu
Nechť X
a I
jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin X_{i}: i \in I
množiny X
je rozklad množiny X
, pokud množiny X_{i}
jsou neprázdné, navzájem disjunktní (nemají společné prvky) a jejich sjednocením je celá množina X
. Množiny X_{i}
nazýváme třídy rozkladu X_{i}: i \in I
.
- soubor podmnožin = rozklad množiny
- jednotlivé množiny = třídy rozkladu
Soubor S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}
, je například rozkladem množiny X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
, zatímco soubory \{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}
a \{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}
nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd.
Třídy ekvivalence
Je-li \sim
ekvivalence, pak se třídy příslušného rozkladu nazývají třídy ekvivalence \sim
.
- Pokud je relace ekvivalencí, třídy rozkladu nazveme třídami ekvivalence.
Stirlingova čísla
Počet rozkladů n-prvkové množiny
- počet prvků rozkladu
k
- počet všech takových rozkladů?
S(n, k) \qquad |x| = n
k = n \qquad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1
S(n,k) = S(n-1,k-1) + k\cdot S(n-1,k), z \in X
- Stirlingova čísla (2. druhu)