16 KiB
Pojmy z LAA
Zobrazení - Předpis f : X \to Y
, kdy prvkům z X přiřazujeme prvky z Y (např. reálná funkce).
Komplexní čísla - Číslo z = a+bi
, kde a, b \in \mathbb{R};
a \text{Re}(z) = a, \text{Im}(z) = b;
hodnota i = \sqrt{-1}
.
Polynomy
Polynom - Polynomem proměnné x
je předpis (funkce) p(x) = a_{n}x^n + \dots + a_{1}x + a_{0}
.
p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i \quad \forall x \in \mathbb{C}, a_{n} \neq 0
Koeficienty polynomu $p(x)$ - Hodnoty a_{i}
v předpisu polynomu.
Stupeň polynomu $p(x)$ - Největší k
, pro něž je a_{k}
nenulové, značíme \text{st}(p(x))
.
Nulový polynom - Polynom p(x)
, který má všechny koeficienty nulové, poté platí \text{st}(p(x)) = -\infty
.
Kořen polynomu - Číslo c \in \mathbb C
, pro které platí p(c) = 0
.
Matice
Matice typu $m/n$ - Soubor (tabulka) m \times n
prvků (čísel) a_{ij}
zapsaných do m
řádků a n
sloupců, obvykle a_{ij} \in \mathbb C
.
Správně bychom měli definovat: Matice A typu m/n
je zobrazení \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to \mathbb C
(nebo speciálně \mathbb R
).
Názvosloví:
(i, j)
- pozice v maticia_{ij}
- prvek na pozici(i, j)
i
- řádkový indexj
- sloupcový indexa_{kk}
- diagonální prvek maticem/n
- typ matice:m
řádků,n
sloupců
Tvary
- Čtvercová matice - matice typu
m/n
, kdem=n
- Obdélníková matice - matice typu
m/n
, kdem \neq n
- $m$-složkový sloupcový vektor - matice typu
m/1
- $n$-složkový řádkový vektor - matice typu
1/n
Nulová matice - Matice typu m/n
, jestliže a_{ij} = 0
pro každé i, j
, značíme ji 0.
Diagonální matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = 0
jestliže i \neq j
, zapisujeme A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, a_{nn})
.
Jednotková matice - Diagonální matice, pro kterou platí a_{ii} = 1
, značí se I
.
Symetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = a_{ji}
.
Antisymetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = -a_{ji}
(a a_{ii} = 0
).
Horní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0
pro všechna i > j
.
Dolní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0
pro všechna i < j
.
Rovnost - Matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu a platí a_{ij} = b_{ij}
pro všechna i, j
, píšeme A = B.
Sčítání matic - Sčítáme matice stejného typu po prvcích (c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
), zapisujeme C = A + B
.
A+B = B+A
A+(B+C) = (A+B)+C
A+0 = 0+A = A
(A+B)^T = A^T + B^T
Násobení matice konstantou - Zapisujeme C = k \cdot A
, kde k \in \mathbb{C}
. Každý prvek vynásobíme číslem k
.
0 \cdot A = 0
k(A+B) = kA + kB
(k_{1}+k_{2})A = k_{1}A + k_{2}B
(k_{1}k_{2})A = k_{1}(k_{2}A)
1A = A
-1A = -A
(kA)^T = kA^T
Násobení dvou matic - Zapisujeme jako C = A \cdot B
, kde A je typu m/n a B je typu n/p. Platí, že c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}
. Násobení dvou matic není komutativní.
A(BC) = (AB)C
(A+B)C = AC + BC
A(B+C) = AB + AC
(AB)^T = B^TA^T
k(AB) = (kA)B = A(kB)
Opačná matice - Matice [-a_{ij}]
k matici A, značíme -A.
Transponovaná matice - Matice [a_{ji}]
typu n/m
k matici A = [a_{ij}]
typu m/n
.
Mocniny matice - Nultá mocina A^0 = I
, $k$-tá mocnina A^k = A \cdot A \cdot \dots \cdot A
.
Inverzní matice - Matice A^{-1}
je inverzní matice ke čtvercové matici A, pro kterou platí, že A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
.
Rozšířená matice soustavy - Matice A^R = [A | \vec b]
, kde matice A
obsahuje vektory neznámých a \vec{b}
je vektor pravých stran.
Pivot v řádku $i$ - První nenulový prvek v tomto řádku (bráno zleva).
Matice ve stupňovitém tvaru - Matice A, kde pro každý řádek platí:
- Je-li v $i$-tém řádku pivot na pozici
j
, ve všech dalších řádcích je na pozicij' > j
. - Je-li řádek nulový, každý další je také nulový.
Lineární vektorové prostory
Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$ - Neprázdná množina \mathcal{V}
, kde pro každé \vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}
a pro každé k, l \in \mathbb T
\exists!\space \vec u \in \mathcal{V}
tak, že\vec u = \vec x + \vec y
,\exists!\space \vec u \in \mathcal{V}
tak, že\vec u = k \vec x
,(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)
,- existuje prvek
\vec o \in \mathcal{V}
takový, že\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x
, (k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x
,(kl)\vec x = k(l\vec x)
,1\vec x = \vec x
,k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y
.
Lineární kombinace - Prvek \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}
, kde \vec v_{i}
jsou prvky LVP \mathcal{V}
a \lambda_{i}
jsou koeficienty.
Lineární (ne)závislost - Prvky \vec v_{i}
nazveme LN pouze tehdy, pokud \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k} = \vec o
jedině když \lambda_{i} = 0
, v opačném případě se prvky nazývají LZ.
Podprostor - Nechť \mathcal{V}
je LVP a \mathcal{V}' \subset \mathcal{V}
. Prostor \mathcal{V}'
je podprostorem LVP \mathcal{V}
, jestliže
- pro každé
\vec x_{1}, \vec x_{2} \in \mathcal{V}'
je\vec x_{1} + \vec x_{2} \in \mathcal{V}'
, - pro každé
\vec x \in \mathcal{V}'
a pro každé\lambda \in \mathbb R
je\lambda\vec x \in \mathcal{V}'
.
Lineární obal množiny - Nechť M = \{ \vec v_{1}, \vec v_{2}, \dots, \vec v_{k} \} \subseteq \mathcal{V}
. Množinu \langle M \rangle
všech lineárních kombinací prvků \vec v_{i}
nazveme lineárním obalem množiny M
.
Generující množina LVP - Množina M
, která generuje LVP \mathcal{V}
, jestliže \langle M \rangle = \mathcal{V}
.
Konečně generovaný prostor - Prostor, ve kterém existuje konečná množina generující \mathcal{V}
.
Báze prostoru $\mathcal{V}$ - Lineárně nezávislá množina, která generuje prostor \mathcal{V}
.
Dimenze $\mathcal{V}$ - Počet prvků báze LVP \mathcal{V}
, značí se \dim(\mathcal{V})
.
Souřadnice prvku - Nechť \mathcal{V}
je nenulový konečně generovaný LVP, \vec v \in \mathcal{V}
a nechť B = \{\vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k}\}
je jeho uspořádaná báze. Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}
lineární kombinace \vec{v} = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}
se nazývají souřadnice prvku \vec v
v bázi B
, značí se \widehat{\vec v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T
.
Determinant matice
Permutace - Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.
Transpozice - Permutace \pi
, pro kterou existují i, j
takové, že \pi(i) = j, \pi(j) = i
a \pi(k) = k
pro všechna k \neq i, j
.
Znaménko permutace $\pi$ - Číslo 1, je-li permutace sudá a -1, je-li permutace lichá (skládá se ze sudého/lichého počtu transpozice).
Determinant - Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}]
řádu n
nazveme číslo \displaystyle\det A = \sum_{\pi} zn(\pi) a_{1\pi(1)} a_{2\pi(2)} \dots a_{n\pi(n)}
, kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{ 1, 2, \dots, n \}
.
Algebraický doplněk prvku $a_{ij}$ - Číslo A_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]
, kde matice A je čtvercová.
Hodnost matice
Řádkový (sloupcový) prostor - Nechť A je typu m/n
. Lineární obal všech řádkových (sloupcových) vektorů (řádků/sloupců) matice A nazveme řádkovým (sloupcovým) prostorem matice A.
Řádková (sloupcová) hodnost matice - Dimenze řádkového (sloupcového) prostoru matice A nazveme řádkovou (sloupcovou) hodností matice A, značíme \text{hod}^r(A)
, resp. \text{hod}^s(A)
.
Hodnost matice - Hodností matice A nazveme \text{hod}^r(A)
Minor řádu $m$ - Determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m
.
Regulární (singulární) matice - Čtvercovou matici A řádu n
nazveme regulární, je-li \text{hod}(A) = n
, jinak ji nazveme singulární (tj. \text{hod}(A) < n
).
Adjungovaná matice k matici A - Matice poskládaná transponovaně z algebraických doplňků, značí se A^A
.
Lineární zobrazení
Nechť \mathcal{U}, \mathcal{V}
jsou LVP a \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}
lineární zobrazení.
Lineární zobrazení (homomorfizmus) - Zobrazení \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}
kde \mathcal{U}, \mathcal{V}
jsou LVP, jestliže pro každé \vec x, \vec y \in \mathcal{U}
a pro každé c \in \mathbb R
platí:
\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)
\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)
Identické zobrazení - Zobrazení \mathbb F
definované vztahem \mathbb F(x) = (x)
.
Jádro lineárního zobrazení - Množina všech prvků \vec x \in \mathcal{U}
takových, že \mathbb L(\vec x) = \vec o_{v}
. Značíme ji \text{Ker}(\mathbb L) = \{ \vec x \in \mathcal{U}; \mathbb L(\vec x) = \vec o_{v} \}
.
Obraz lineárního zobrazení - Množina všech prvků \vec y \in \mathcal{V}
takových, že existuje \vec x \in \mathcal{U}
tak, že \mathbb L(\vec x) = \vec y
. Značí se \text{Im}(\mathbb L) = \{ \vec y \in \mathcal{V}; \exists \vec x \in \mathcal{U}, \mathbb L(\vec x) = \vec y \}
.
Izomorfní zobrazení - Lineární zobrazení \mathbb L
, jestliže je prosté a zároveň na.
Izomorfní prostory - Prostory \mathcal{U}, \mathcal{V}
, pokud existuje izomorfní zobrazení z \mathcal{U}
do \mathcal{V}
.
Matice lineárního zobrazení - Nechť \mathcal{U}, \mathcal{V}
jsou LVP a \mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}
lineární zobrazení. Matice lineárního zobrazení je matice M pro kterou platí: \widehat{\mathbb{L}(\vec{u})} = M \cdot \vec u
.
M = \begin{bmatrix}\widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_1)} & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_2)} & \dots & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_n)}\end{bmatrix}
Matice přechodu - Nechť \mathcal{U}, \mathcal{V}
jsou LVP a \mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V}
lineární zobrazení. Matice přechodu T
od báze D
k bázi C
je matice, pro kterou platí: T \cdot \vec{x}_{c} = \widehat{I \cdot \vec{x}_{d}}
.
Soustavy lineárních rovnic
Řešení soustavy rovnic - Každý vektor \overline {\vec x} \in \mathbb R^n
, pro nějž platí A\overline {\vec x} = \vec b
.
Ekvivalentní soustavy - Dvě soustavy, které mají stejnou množinu řešení.
(Ne)homogenní soustava - Soustava rovnic se nazývá homogenní, jestliže \vec b = \vec o
. V opačném případě se nazývá nehomogenní.
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní číslo matice A - Nechť A je čtvercová matice řádu n
. Číslo \lambda \in \mathbb C
nazveme vlastním číslem matice A, jestliže existuje nenulový vektor \vec u \in \mathbb R^n
takový, že \lambda \vec u = A\vec u
.
Vlastní vektor - Vektor \vec u
příslušející vlastnímu číslu \lambda
, pro který platí \lambda \vec u = A\vec u
.
Charakteristický polynom - Polynom \det(A-\lambda I)
se nazývá charakteristický polynom matice A, která je čtvercová.
Charakteristická rovnice - Rovnice \det(A - \lambda I) = 0
, kde se charakteristický polynom rovná nule.
Spektrum matice - Soubor všech vlastních čísel matice A, značíme ho \text{Sp}(A)
.
\text{Sp}(A) = \{ 3^2; -1 \}
Podobnost matice - Matice A a B jsou čtvercové, matice A je podobná matici B, jestliže existuje regulární matice T taková, že A = T^{-1}BT
. Značíme A \approx B
.
Lineární operátor - Lineární zobrazení \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{U}
.
Řetězec zobecněných vlastních vektorů - Uspořádaná $k$-tice vektorů \vec u_{i}
je řetězcem zobecněných vlastních vektorů, kde A je čtvercová matice a \lambda
je vlastní číslo matice A, jestliže
(A-\lambda I)\vec u_{1} = \vec o, \vec u_{1} \neq \vec o
,(A-\lambda I)\vec u_{2} = \vec u_{1}
,\dots
(A-\lambda I)\vec u_{k} = \vec u_{k-1}
,
a k
je nejmenší číslo, pro něž je (A-\lambda I)^k = \vec O
.
Zobecněný vlastní vektor - Vektor \vec u_{1}
je vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu \lambda
. Pro každé j = 1,2,\dots,k
se nazývá $j$-tý zobecněný vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu \lambda
.
Prostory se skalárním součinem
Skalární součin - Zobrazení (\vec x, \vec y) : \mathcal{U} \times \mathcal{U} \to \mathbb{R}
splňující vlastnosti
(\vec x, \vec x) \geq 0
pro každé\vec x \in \mathcal{U}; (\vec x,\vec x) = 0
, právě když\vec x = \vec o
,(\vec x, \vec y) = (\vec x, \vec y) \space \forall\vec x, \vec y \in \mathcal{U}
,(k\vec x, \vec y) = k(\vec x, \vec y) \space \forall\vec x, \vec y \in \mathcal{U}, \forall k \in \mathbb{R}
,(\vec x + \vec y, \vec z) = (\vec x, \vec z) + (\vec y, \vec z) \space \forall\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{U}
,
kde \mathcal{U}
je LVP nad \mathbb{R}
.
Eukleidovský prostor - LVP se skalárním součinem.
Norma - Zobrazení \Vert \text.\Vert : \mathcal{U} \to \mathbb{R}
v lineárním vektorovém prostoru \mathcal{U}
, které má vlastnosti
\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0
právě když\vec{x} = \vec{o}
,\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U
a\forall k \in \mathbb{R}
,\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}
.
Ortogonální prvky - Dva prvky \vec x, \vec y
Eukleidovského prostoru, jestliže (\vec x, \vec y) = 0
. Píšeme \vec x \perp \vec y
. Množiny X, Y \subset \mathcal{U}
jsou ortogonální, jestliže \vec x \perp \vec y
pro každé \vec x \in X, \vec y \in Y
.
Ortogonální průmět - Nechť \mathcal{V}
je Eukleidovský prostor, \mathcal{U}
podprostor \mathcal{V}
a \vec{v} \in \mathcal{V}, \vec{v} \notin \mathcal{U}
. Ortogonální průmět prvku \vec{v}
do podprostoru \mathcal{U}
je prvek \vec{v}_{0}
, pokud platí:
\vec{v}_{0} \in \mathcal{U}
,(\vec{v}-\vec{v}_{0}) \perp \mathcal{U}
.
Ortogonální báze - Báze Eukleidovského prostoru, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální.
Unitární prostor ??
Ortogonální doplňek - Ortogonální doplněk \mathcal{V}^{\perp}
podprostoru \mathcal{V}
v \mathcal{U}
je množina všech vektorů z \mathcal{U}
, které jsou kolmé na \mathcal{V}
, tedy na každý prvek \mathcal{V}
, kde \mathcal{V}
je podprostor Eukleidovského prostoru \mathcal{U}
. Píšeme V^{\perp} = \{\vec{u} \in \mathcal{U}; \vec{u} \perp \vec{v}; \forall \vec{v} \in V\}
.
Ortonormální báze - Ortogonální báze B = \{ \vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k} \}
, kde (\vec b_{i}, b_{i}) = 1
pro každé i = 1, 2, \dots, k
.
Kvadratické formy
Kvadratická forma - Zobrazení \kappa(\vec x) = \vec x^T A \vec x
, kde A je reálná symetrická matice.
Inercie kvadratické formy - Označme k
počet kladných vlastních čísel matice A, z
počet záporných a d
počet vlstních čísel matice A rovných nule, inercií kvadratické formy označíme trojici čísel (k, z, d)
a značíme in(\kappa) = (k, z, d)
, kde \kappa(\vec x) = \vec x^TA\vec x
je kvadratická forma a A je reálná symetrická matice.
Definitnost kvadratické formy - Řekněme, že kvadratická forma \kappa(\vec x)
na \mathbb{R}^5
je
typ | jestliže |
---|---|
pozitivně definitní | in(\kappa) = (k, 0, 0) |
negativně definitní | in(\kappa) = (0, z, 0) |
pozitivně semidefinitní | in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0 |
negativně semidefinitní | in(\kappa) = (0, z, d), d > 0 |
indefinitní | in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0 |
pozitivně i negativně semidefinitní | in(\kappa) = (0, 0, d) |
Hlavní minor matice A řádu $k$ - Číslo \det(A_{k})
, kde A = [a_{ij}]
je symetrická matice řádu n
a A_{k}
je její podmatice obsahující prvky a_{11}, a_{22}, \dots, a_{kk}
. Značí se \Delta_{k}
.