From 2ee73e23740bcb4cb5856b4b4dcad2714b6b28dc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Wed, 19 Jun 2024 19:08:14 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Aprava=204.=20okruhu=20z=20NM?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA NM/Zkouška/04. okruh.md | 46 +++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 26 insertions(+), 20 deletions(-) diff --git a/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md b/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md index 89df726..f2164ec 100644 --- a/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md +++ b/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md @@ -1,27 +1,33 @@ **Stacionární iterační metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda, SOR metoda. Nutná a postačující podmínka konvergence iterační metody, postačující podmínka konvergence iterační metody.** -### Iterační metody +### Stacionární iterační metody SLAR -- používány pro řídké matice ++ používány pro řídké matice ++ pro plnou matici raději GEM nebo LU-rozklad ++ **stacionární** = nalezené rovnice se nemění, vhodné pro výpočty na PC -Obecný zápis -- $Ax - b = 0 \leftrightarrow F(x) = 0$ přepíšeme na tvar $x = Hx+g \leftrightarrow x = \Phi(x)$ -- iterační formule ... $x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g$ +- soustavu přepíšeme: + - $Ax = b \to x = Hx+g$ +- iterační formule + - $x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g$ - $H$ rozhoduje o kvalitě metody -- počáteční aproximace $x^{(0)}$, zastavovací podmínka $\Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon$ ++ zvolíme počáteční aproximaci $x^{(0)}$ ++ zastavovací podmínka $\Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon$ **Jacobiho metoda** -- z $i$-té rovnice vyjádřím $i$-tou složku vektoru $x$ +- matice musí být **regulární** - soustava má jedno řešení + - pokud je ostře diagonálně dominantní, tak konverguje vždy +- z $i$-té rovnice (řádky) vyjádříme složku $x_{i}$ vektoru $x$ - $i$-tá rovnice ... $a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + \dots a_{in}x_{n} = b_{i}$ - iterační formule - - $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^n_{j=1; j\neq i} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right)$ pro $a_{ii} \neq 0$ - - $H$ ... řádky jsou jednotlivá vyjádření $x_{i}$ - - $g$ ... sestavený z členů bez $x$ ve vyjádření $x_{i}$ + - $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^n_{j=1; \, j\neq i} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right)$ pro $a_{ii} \neq 0$ + - od $b_{i}$ odečítáme sumu všech $a_{ij}$ přes všechna $j$ kde $j\neq i$ **Gaussova-Seidelova metoda** - stejný princip jako u Jacobihovy metody, ale pokud při výpočtu $(k+1)$-iterace již známe $(k+1)$ iteraci u některých složek, tak ji použijeme - iterační formule - $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^{i-1}_{j=1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} - \sum^{n}_{j=i+1} a_{ij} x_{j}^{(k) }\right)$ + - od $b_{i}$ odečítáme sumu $(k+1)$-tých iterací u $j < i-1$ a sumu $k$-tých iterací u $j > i+1$ **SOR metoda** - princip @@ -31,8 +37,8 @@ Obecný zápis - iterační formule - $\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \omega\cdot x_{i,GS}^{(k+1)} + (1-\omega)x_{i}^{(k)}$ - lineární kombinace $(k+1)$-iterace GS-metody a $k$-té iterace metody SOR -- volba $\omega$ - - musíme si zvolit parametr $\omega$ +- volba **relaxačního parametru** $\omega$ + - musíme si zvolit parametr $\omega \in (0,2)$ - tento parametr může metodu zhoršit či vylepšit oproti GS - vzorec, který (ne vždy) dokáže vypočítat optimální $\omega$ - $\displaystyle\omega_\text{opt} = \frac{2}{1 + \sqrt{ 1- \rho(H_{J}) }}$ @@ -42,21 +48,21 @@ Obecný zápis $\displaystyle\lim_{ x \to \infty } x^{(k)} = x^*$ -Nutná a postačující podmínka konvergence -- $\rho(H) = \max|\lambda_{i}(H)| < 1 \Longleftrightarrow$ metoda konverguje $\Longleftrightarrow$ úloha je stabilní - - $\rho(H)$ ... spektrální poloměr matice $H$ = maximální vl. číslo matice $H$ v abs. hodnotě +**Nutná a postačující podmínka konvergence** +- $\rho(H) < 1$ $\Longleftrightarrow$ metoda konverguje pro libovolné $x_{0} \in R \Longleftrightarrow$ úloha je stabilní + - $\rho(H) = \max|\lambda_{i}(H)|$ ... spektrální poloměr matice $H$ + - maximální vlastní číslo matice $H$ v absolutní hodnotě - čím blíž bude spektrální poloměr 1, tím bude metoda pomalejší - snaha, dostat ho co nejvíce k 0 -Postačující podmínka konvergence -- $\Vert H\Vert \leq q < 1 \implies$ metoda je konvergentní - - multiplikativní maticová norma: $\Vert A\cdot B\Vert \leq \Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert$ -- podmínka pro konvergenci SOR +**Postačující podmínka konvergence** +- $\Vert H\Vert \leq q < 1 \implies$ metoda konverguje při libovolné volbě $x_{0}$ + - Euklidovská maticová norma ... $\displaystyle\Vert A\Vert = \sqrt{ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a^2_{ij} }$ ++ podmínka pro konvergenci SOR - $\rho(H_{SOR}) \geq |\omega-1| \quad \forall \omega \in R$ Konvergenční věty - podmínky pro $H$ jsou nepraktické, $H$ je těžko spočitatelná - $A$ je ostře diagonálně dominantní $\implies$ konverguje Jacobiho i GS metoda pro libovolnou volbu $x_{0}$ - $A$ je symetrická a poz. definitní $\implies$ konverguje GS metoda -- SOR metoda konverguje $\implies 0 < \omega < 2$ - $A$ je symetrická a poz. definitní, $0 < \omega < 2 \implies$ SOR metoda konverguje