Přidání zkouškového testu z FYI a vypracované otázky na inerciální a neinerciální soustavy

KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md

@@ -0,0 +1,192 @@
+### Popište a vysvětlete **inerciální a neinerciální** souřadné soustavy
+- základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
+- platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
+- co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
+- kdy působí setrvačné síly (tři druhy těchto sil) a kam směřují (obrázek)
+
+#### Základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
+
+**Inerciální soustavy** (inercie = setrvačnost)
+- vztažná soustava, která se **pohybuje rovnoměrně přímočaře** nebo je v klidu
+	- **rovnoměrně** - rychlost se v čase nemění
+	- **přímočaře** - směr se v čase nemění
+- Newtononovy zákony platí bez jakýchkoliv úprav
+
+**Neinerciální soustavy**
+- vztažná soustava, která se pohybuje **zrychleně** (např. zrychleně rovnoměrně, po kruhové dráze, ...)
+- kromě skutečných sil brány v úvahu také zdánlivé (inertní) síly
+	- **setrvačná síla, Coriolisova síla, centrifugální (odstředivá) síla**
+- pro použití Newtonových zákonů je potřeba přidávat tyto zdánlivé síly
+
+Máme dvě vzájemně nezávislé soustavy $S$ a $S'$, ve kterých pozorujeme stejný hmotný bod $m$
+- osy zůstávají rovnoběžné a pohybují se vůči sobě (**posuvný pohyb nebo-li translace**)
+
+Průvodiče jsou vektory polohy $r, r'$ závisící na čase $t$
+- vedou od počátku souřadnicového systému k poloze tělesa $m$
+- pokud se těleso pohybuje v dané soustavě, průvodič se v čase mění a jeho změna určuje rychlost tělesa v dané soustavě
+
+![](_assets/soustavy.svg)
+
+Z obrázku je zřejmý **vztah pro průvodiče**
+- $\displaystyle\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}$
+
+Derivace podle času - **vztah pro rychlost**
+- $\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{t}$
+	- můžeme upravit, rychlost je vyjádřena jako $v = \frac{dr}{dt}$
+- $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$
+	- $\vec{v}$ je rychlost bodu v soustavě $S$
+	- $\vec{v}'$ je rychlost stejného bodu v soustavě $S'$
+	- $\vec{u}$ je **unášivá rychlost**, tedy rychlost, s jakou se soustava $S'$ pohybuje vzhledem k soustavě $S$ (hmotný bod je soustavou unášen)
+
+Derivace vzorce rychlosti podle času - **vztah pro zrychlení**
+- $\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} + \frac{d\vec{u}}{dt}$
+	- můžeme upravit, zrychlení je časovou derivací rychlosti
+- $\vec{a} = \vec{a}' + \vec{a}_{u}$
+	- $\vec{a}$ je zrychlení bodu v soustavě $S$
+	- $\vec{a}'$ je zrychlení stejného bodu v soustavě $S'$
+	- $\vec{a}_{u}$ je **unášivé zrychlení** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
+
+#### Platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
+
+První Newtonův zákon (zákon setrvačnosti)
+- Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí žádná výsledná síla (součet všech sil).
+
+Druhý Newtonův zákon (zákon síly)
+- Zrychlení tělesa je přímo úměrné výsledné síle působící na těleso a nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Tento vztah je vyjádřen rovnicí $\vec{F} = m\vec{a}$.
+	- hmotnost je míra setrvačnosti, brání v pohybu
+
+**Rovnoměrný přímočarý pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
+- unášivá rychlost mezi soustavami je konstantní
+	- $\vec{u} = \text{konst.}$
+- v soustavě $S$ platí pro těleso **zákon setrvačnosti** (1. NZ)
+	- těleso se bez působení sil pohybuje v soustavě $S$ rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu
+	- rychlost v soustavě $S$ je tedy konstantní včetně nuly
+		- $\vec{v} = \text{konst.}$
+	- z výše uvedených vztahů plyne, že rychlost v soustavě $S'$ bude také konstantní
+		- $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} = \text{konst.}$
+	- **zákon setrvačnosti platí v obou soustavách**, nazývají se tedy inerciální (setrvačné)
+	- v těchto soustavách platí **Galileovy transformace**
+- platnost 2. NZ v soustavě $S'$
+	- předpokládejme, že pro hmotný bod v soustavě $S$ neplatí 1. NZ, ale působením těles se začal pohybovat podle zákona síly: $\vec{F} = m\vec{a}$
+	- při konstantní **unášivé rychlosti** $\vec{u}$ soustavy $S'$ je její **unášivé zrychlení nulové**
+		- $\displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{d}{dt}(\text{konst}) = 0$
+	- ze vztahů plyne rovnost zrychlení $\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} = \vec{a}$
+	- pohybová rovnice v $S'$ má tedy tvar
+		- $m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a}-\vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a} = \vec{F} = \vec{F}'$
+	- v obou soustavách jsou tedy **stejná zrychlení** i **stejné síly**
+		- pohybová rovnice tedy platí v nezměněném tvaru v každé inerciální soustavě
+		- pohybové rovnice jsou invariantní vůči Galileově transformaci
+
+**Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
+- pohyb musí být stále translací (osy se tedy neotáčí)
+- **unášivá rychlost** je nyní obecně proměnnou veličinou
+	- může měnit velikost, směr i orientaci
+	- $\vec{u} \neq \text{konst.}$
+- při křivočarém pohybu soustavy $S'$ je její **unášivé zrychlení nenulové**
+	- rychlost se tedy v průběhu mění
+	- $\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} \neq 0$
+- v případě konstantní rychlosti tělesa v soustavě $S$ nebude v $S'$ rychlost konstantní
+	- $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}$
+	- kvůli tomu v soustavě $S'$ **neplatí zákon setrvačnosti** a jedná se tak o **neinerciální soustavu**
+- jelikož je unášivé zrychlení nenulové, tak je zrychlení bodu v soustavě $S'$ odlišné od zrychlení stejného bodu v soustavě $S$
+	- $\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u}$
+- pohybová rovnice v $S'$ má poté tvar
+	- $m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a} - \vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a}-m\cdot \vec{a}_{u} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'$
+	- v obou soustavách jsou nyní **jiná zrychlení** i **jiné síly**
+	- pohybová rovnice **není invariantní**
+		- změnila svůj tvar a kromě původní působící síly se zde objevuje **nová setrvačná síla** závisející na unášivém zrychlení soustavy
+
+#### Co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
+
+Jedná se o transformační vztahy pro převod souřadnic mezi dvěma inerciálními soustavami
+- $\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R} \implies \vec{r}' = \vec{r} - \vec{R}$ - budeme počítat souřadnice ve druhé soustavě
+- tento vztah je možné rozložit na tři rovnice
+	- $x' = x - R_{x}$
+	- $y' = y - R_{y}$
+	- $z' = z - R_{z}$
+- použitím rovnice $s = v\cdot t$ rozložíme $R_{i}$ na $u_{i}\cdot t$, čímž získáme **Galileovy transformace**
+	- $x' = x - u_{x}\cdot t$
+	- $y' = y - u_{y}\cdot t$
+	- $z' = z - u_{z}\cdot t$
+	- $t = t'$ (souřadnice počítáme ve stejném čase)
+- pokud vyjádříme $x, y, z$ místo $x', y', z'$, tak získáme **inverzní Galileovy transformace**
+	- $x = x' + u_{x}\cdot t$
+	- $y = y' + u_{y}\cdot t$
+	- $z = z' + u_{z}\cdot t$
+	- $t = t'$
+
+Podmínky
+- soustavy $S$ a $S'$ se vůči sobě pohybují **posuvným pohybem** (translací)
+	- osy soustav musí zachovávat svůj směr
+- obě dvě soustavy musí být **inerciální**
+- **v nulovém čase** ($t = 0$) **obě soustavy splývají** (jejich počátky jsou na stejném místě, tedy $O' = O$)
+
+#### Kdy působí setrvačné síly a kam směřují (obrázek)
+
+**Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
+- **setrvačná síla** (v neinerciální soustavě)
+	- $\vec{F}^* = -m\cdot \vec{a}_{u}$
+- rozložení setrvačné síly na složky
+	- $\vec{a}_{u} = \vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}$
+	- $\vec{F}_{n}^* = -m(\vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}) = -m\vec{a}_{n} -m\vec{a}_{t} = \vec{F}^*_{n} + \vec{F}^*_{t}$
+	- **odstředivá síla**
+		- $\displaystyle\vec{F}^*_{n} = -m\vec{a}_{n} = -m\cdot \frac{u^2}{R}\cdot \vec{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times \vec{\omega}\times \vec{r}$
+		- má opačný směr oproti dostředivé síle
+	- **Eulerova (setrvačná) síla**
+		- $\displaystyle\vec{F}^*_{t} = -m\vec{a}_{t} = -m\cdot \frac{du}{dt}\cdot \vec{t} = -m\cdot \vec{\epsilon} \times \vec{r}$
+		- má opačný směr oproti tečné síle
+
+**Rotační pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
+- předpoklady
+	- inerciální soustava $S$ je v klidu
+	- neinerciální soustava $S'$ se otáčí úhlovou rychlostí $\omega$ kolem **společných os** $z = z'$
+	- počátky obou soustav splývají ($O = O'$)
+- sledujeme jediný hmotný bod $m$ v soustavách $S$ i $S'$
+	- počátky obou soustav splývají, vektory jsou tedy totožné ($\vec{r} = \vec{r}'$)
+	- souřadnice tohoto jediného vektoru jsou v obou soustavách různé
+- hmotný bod je se soustavou $S'$ pevně spojený
+	- je vůči ní v klidu a je touto soustavou unášen
+	- jeho unášivá rychlost rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu
+		- $\vec{u} = \vec{\omega}\times \vec{r}$
+- bod se může v $S'$ pohybovat i samostatně
+	- navíc s rychlostí $\vec{v}'$
+	- skládání rychlostí v soustavě $S$ - $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega}\times \vec{r}$
+- **obecný vztah mezi derivacemi libovolného vektoru**
+	- vektor $\vec{A}$ ve dvou vztažných soustavách
+	- v inerciální soustavě $S$ a neinerciální soustavě $S'$ rotující úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$
+	- $\displaystyle\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A}$
+- vztah výše lze využít pro výpočet zrychlení hmotného bodu v neinerciální soustavě
+	- $\displaystyle\frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d'\vec{v}'}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{v}'$
+	- $\displaystyle\vec{a}' = \frac{d'\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} - \vec{\omega}\times \vec{v}'$
+	- $\displaystyle\vec{a}' = \frac{d}{dt}(\vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{r}) - \vec{\omega}\times \vec{v}'$
+	- $\displaystyle\vec{a}' = \vec{a} - \vec{\epsilon}\times \vec{r} - \vec{\omega}\times \vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{v}'$
+	- $m\cdot\vec{a}' = m\cdot\vec{a} - m\cdot\vec{\epsilon}\times \vec{r} - m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - 2\cdot m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'$
+	- $m\cdot \vec{a} = \vec{F} + \vec{F}^*_{1} + \vec{F}^*_{2} + \vec{F}^*_{3} = \vec{F}'$
+- kromě skutečné síly $\vec{F}$ je potřeba započítat tři další
+	- $\vec{F}^*_{1} = \vec{F}^*_{t} = -m\cdot \vec{\epsilon}\times \vec{r}$ - **Eulerova (setrvačná) síla**
+	- $\vec{F}^*_{2} = \vec{F}^*_{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})$ - **odstředivá síla**
+	- $\vec{F}^*_{3} = \vec{F}^*_{C} = -2m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'$ - **Coriolisova síla**
+		- objevuje se pouze, pokud se hmotný bod pohybuje rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace (tedy $z = z'$)
+
+### Popište a vysvětlete **tlumený** harmonický oscilátor
+- výchozí podmínky - všechny působící síly
+- sestavení pohybové rovnice - její řešení pro různé velikosti tlumení (včetně grafů)
+- jaká je perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmitavého řešení
+- co je to útlum a kvalita oscilátoru
+- stav velmi malého tlumení
+
+### Popište skládání dvou **rovinných vln stejné** frekvence postupujících **stejným** směrem
+- sestavte výchozí rovnice pro obě vlny (od dvou koherentních zdrojů na ose x) (obrázek)
+- převeďte na komplexní tvary - a sečtěte na výslednou vlnu
+- podmínky extrémních stavů
+- aplikace
+
+### Definujte a vysvětlete **fotometrické veličiny**
+- **světelný tok** (jak se liší od zářivého toku)
+- **svítivost a jas** - přesné definice a vysvětlení (také použítých veličin) (obrázky)
+- co to je **izotropní bodový zdroj** a **homogenní izotropní plošný zdroj**
+
+### Dodatková otázka:
+- Uveďte základní vlastnosti **těžiště** soustavy hmotných bodů (tělesa) a odvoďte vztah pro jeho polohu.
+- Proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa?
+- Jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa?