diff --git a/KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md b/KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md new file mode 100644 index 0000000..bfcf9c6 --- /dev/null +++ b/KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md @@ -0,0 +1,192 @@ +### Popište a vysvětlete **inerciální a neinerciální** souřadné soustavy +- základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek) +- platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách +- co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí +- kdy působí setrvačné síly (tři druhy těchto sil) a kam směřují (obrázek) + +#### Základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek) + +**Inerciální soustavy** (inercie = setrvačnost) +- vztažná soustava, která se **pohybuje rovnoměrně přímočaře** nebo je v klidu + - **rovnoměrně** - rychlost se v čase nemění + - **přímočaře** - směr se v čase nemění +- Newtononovy zákony platí bez jakýchkoliv úprav + +**Neinerciální soustavy** +- vztažná soustava, která se pohybuje **zrychleně** (např. zrychleně rovnoměrně, po kruhové dráze, ...) +- kromě skutečných sil brány v úvahu také zdánlivé (inertní) síly + - **setrvačná síla, Coriolisova síla, centrifugální (odstředivá) síla** +- pro použití Newtonových zákonů je potřeba přidávat tyto zdánlivé síly + +Máme dvě vzájemně nezávislé soustavy $S$ a $S'$, ve kterých pozorujeme stejný hmotný bod $m$ +- osy zůstávají rovnoběžné a pohybují se vůči sobě (**posuvný pohyb nebo-li translace**) + +Průvodiče jsou vektory polohy $r, r'$ závisící na čase $t$ +- vedou od počátku souřadnicového systému k poloze tělesa $m$ +- pokud se těleso pohybuje v dané soustavě, průvodič se v čase mění a jeho změna určuje rychlost tělesa v dané soustavě + +![](_assets/soustavy.svg) + +Z obrázku je zřejmý **vztah pro průvodiče** +- $\displaystyle\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}$ + +Derivace podle času - **vztah pro rychlost** +- $\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{t}$ + - můžeme upravit, rychlost je vyjádřena jako $v = \frac{dr}{dt}$ +- $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$ + - $\vec{v}$ je rychlost bodu v soustavě $S$ + - $\vec{v}'$ je rychlost stejného bodu v soustavě $S'$ + - $\vec{u}$ je **unášivá rychlost**, tedy rychlost, s jakou se soustava $S'$ pohybuje vzhledem k soustavě $S$ (hmotný bod je soustavou unášen) + +Derivace vzorce rychlosti podle času - **vztah pro zrychlení** +- $\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} + \frac{d\vec{u}}{dt}$ + - můžeme upravit, zrychlení je časovou derivací rychlosti +- $\vec{a} = \vec{a}' + \vec{a}_{u}$ + - $\vec{a}$ je zrychlení bodu v soustavě $S$ + - $\vec{a}'$ je zrychlení stejného bodu v soustavě $S'$ + - $\vec{a}_{u}$ je **unášivé zrychlení** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$ + +#### Platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách + +První Newtonův zákon (zákon setrvačnosti) +- Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí žádná výsledná síla (součet všech sil). + +Druhý Newtonův zákon (zákon síly) +- Zrychlení tělesa je přímo úměrné výsledné síle působící na těleso a nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Tento vztah je vyjádřen rovnicí $\vec{F} = m\vec{a}$. + - hmotnost je míra setrvačnosti, brání v pohybu + +**Rovnoměrný přímočarý pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$ +- unášivá rychlost mezi soustavami je konstantní + - $\vec{u} = \text{konst.}$ +- v soustavě $S$ platí pro těleso **zákon setrvačnosti** (1. NZ) + - těleso se bez působení sil pohybuje v soustavě $S$ rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu + - rychlost v soustavě $S$ je tedy konstantní včetně nuly + - $\vec{v} = \text{konst.}$ + - z výše uvedených vztahů plyne, že rychlost v soustavě $S'$ bude také konstantní + - $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} = \text{konst.}$ + - **zákon setrvačnosti platí v obou soustavách**, nazývají se tedy inerciální (setrvačné) + - v těchto soustavách platí **Galileovy transformace** +- platnost 2. NZ v soustavě $S'$ + - předpokládejme, že pro hmotný bod v soustavě $S$ neplatí 1. NZ, ale působením těles se začal pohybovat podle zákona síly: $\vec{F} = m\vec{a}$ + - při konstantní **unášivé rychlosti** $\vec{u}$ soustavy $S'$ je její **unášivé zrychlení nulové** + - $\displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{d}{dt}(\text{konst}) = 0$ + - ze vztahů plyne rovnost zrychlení $\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} = \vec{a}$ + - pohybová rovnice v $S'$ má tedy tvar + - $m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a}-\vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a} = \vec{F} = \vec{F}'$ + - v obou soustavách jsou tedy **stejná zrychlení** i **stejné síly** + - pohybová rovnice tedy platí v nezměněném tvaru v každé inerciální soustavě + - pohybové rovnice jsou invariantní vůči Galileově transformaci + +**Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$ +- pohyb musí být stále translací (osy se tedy neotáčí) +- **unášivá rychlost** je nyní obecně proměnnou veličinou + - může měnit velikost, směr i orientaci + - $\vec{u} \neq \text{konst.}$ +- při křivočarém pohybu soustavy $S'$ je její **unášivé zrychlení nenulové** + - rychlost se tedy v průběhu mění + - $\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} \neq 0$ +- v případě konstantní rychlosti tělesa v soustavě $S$ nebude v $S'$ rychlost konstantní + - $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}$ + - kvůli tomu v soustavě $S'$ **neplatí zákon setrvačnosti** a jedná se tak o **neinerciální soustavu** +- jelikož je unášivé zrychlení nenulové, tak je zrychlení bodu v soustavě $S'$ odlišné od zrychlení stejného bodu v soustavě $S$ + - $\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u}$ +- pohybová rovnice v $S'$ má poté tvar + - $m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a} - \vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a}-m\cdot \vec{a}_{u} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'$ + - v obou soustavách jsou nyní **jiná zrychlení** i **jiné síly** + - pohybová rovnice **není invariantní** + - změnila svůj tvar a kromě původní působící síly se zde objevuje **nová setrvačná síla** závisející na unášivém zrychlení soustavy + +#### Co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí + +Jedná se o transformační vztahy pro převod souřadnic mezi dvěma inerciálními soustavami +- $\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R} \implies \vec{r}' = \vec{r} - \vec{R}$ - budeme počítat souřadnice ve druhé soustavě +- tento vztah je možné rozložit na tři rovnice + - $x' = x - R_{x}$ + - $y' = y - R_{y}$ + - $z' = z - R_{z}$ +- použitím rovnice $s = v\cdot t$ rozložíme $R_{i}$ na $u_{i}\cdot t$, čímž získáme **Galileovy transformace** + - $x' = x - u_{x}\cdot t$ + - $y' = y - u_{y}\cdot t$ + - $z' = z - u_{z}\cdot t$ + - $t = t'$ (souřadnice počítáme ve stejném čase) +- pokud vyjádříme $x, y, z$ místo $x', y', z'$, tak získáme **inverzní Galileovy transformace** + - $x = x' + u_{x}\cdot t$ + - $y = y' + u_{y}\cdot t$ + - $z = z' + u_{z}\cdot t$ + - $t = t'$ + +Podmínky +- soustavy $S$ a $S'$ se vůči sobě pohybují **posuvným pohybem** (translací) + - osy soustav musí zachovávat svůj směr +- obě dvě soustavy musí být **inerciální** +- **v nulovém čase** ($t = 0$) **obě soustavy splývají** (jejich počátky jsou na stejném místě, tedy $O' = O$) + +#### Kdy působí setrvačné síly a kam směřují (obrázek) + +**Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$ +- **setrvačná síla** (v neinerciální soustavě) + - $\vec{F}^* = -m\cdot \vec{a}_{u}$ +- rozložení setrvačné síly na složky + - $\vec{a}_{u} = \vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}$ + - $\vec{F}_{n}^* = -m(\vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}) = -m\vec{a}_{n} -m\vec{a}_{t} = \vec{F}^*_{n} + \vec{F}^*_{t}$ + - **odstředivá síla** + - $\displaystyle\vec{F}^*_{n} = -m\vec{a}_{n} = -m\cdot \frac{u^2}{R}\cdot \vec{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times \vec{\omega}\times \vec{r}$ + - má opačný směr oproti dostředivé síle + - **Eulerova (setrvačná) síla** + - $\displaystyle\vec{F}^*_{t} = -m\vec{a}_{t} = -m\cdot \frac{du}{dt}\cdot \vec{t} = -m\cdot \vec{\epsilon} \times \vec{r}$ + - má opačný směr oproti tečné síle + +**Rotační pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$ +- předpoklady + - inerciální soustava $S$ je v klidu + - neinerciální soustava $S'$ se otáčí úhlovou rychlostí $\omega$ kolem **společných os** $z = z'$ + - počátky obou soustav splývají ($O = O'$) +- sledujeme jediný hmotný bod $m$ v soustavách $S$ i $S'$ + - počátky obou soustav splývají, vektory jsou tedy totožné ($\vec{r} = \vec{r}'$) + - souřadnice tohoto jediného vektoru jsou v obou soustavách různé +- hmotný bod je se soustavou $S'$ pevně spojený + - je vůči ní v klidu a je touto soustavou unášen + - jeho unášivá rychlost rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu + - $\vec{u} = \vec{\omega}\times \vec{r}$ +- bod se může v $S'$ pohybovat i samostatně + - navíc s rychlostí $\vec{v}'$ + - skládání rychlostí v soustavě $S$ - $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega}\times \vec{r}$ +- **obecný vztah mezi derivacemi libovolného vektoru** + - vektor $\vec{A}$ ve dvou vztažných soustavách + - v inerciální soustavě $S$ a neinerciální soustavě $S'$ rotující úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$ + - $\displaystyle\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A}$ +- vztah výše lze využít pro výpočet zrychlení hmotného bodu v neinerciální soustavě + - $\displaystyle\frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d'\vec{v}'}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{v}'$ + - $\displaystyle\vec{a}' = \frac{d'\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} - \vec{\omega}\times \vec{v}'$ + - $\displaystyle\vec{a}' = \frac{d}{dt}(\vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{r}) - \vec{\omega}\times \vec{v}'$ + - $\displaystyle\vec{a}' = \vec{a} - \vec{\epsilon}\times \vec{r} - \vec{\omega}\times \vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{v}'$ + - $m\cdot\vec{a}' = m\cdot\vec{a} - m\cdot\vec{\epsilon}\times \vec{r} - m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - 2\cdot m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'$ + - $m\cdot \vec{a} = \vec{F} + \vec{F}^*_{1} + \vec{F}^*_{2} + \vec{F}^*_{3} = \vec{F}'$ +- kromě skutečné síly $\vec{F}$ je potřeba započítat tři další + - $\vec{F}^*_{1} = \vec{F}^*_{t} = -m\cdot \vec{\epsilon}\times \vec{r}$ - **Eulerova (setrvačná) síla** + - $\vec{F}^*_{2} = \vec{F}^*_{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})$ - **odstředivá síla** + - $\vec{F}^*_{3} = \vec{F}^*_{C} = -2m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'$ - **Coriolisova síla** + - objevuje se pouze, pokud se hmotný bod pohybuje rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace (tedy $z = z'$) + +### Popište a vysvětlete **tlumený** harmonický oscilátor +- výchozí podmínky - všechny působící síly +- sestavení pohybové rovnice - její řešení pro různé velikosti tlumení (včetně grafů) +- jaká je perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmitavého řešení +- co je to útlum a kvalita oscilátoru +- stav velmi malého tlumení + +### Popište skládání dvou **rovinných vln stejné** frekvence postupujících **stejným** směrem +- sestavte výchozí rovnice pro obě vlny (od dvou koherentních zdrojů na ose x) (obrázek) +- převeďte na komplexní tvary - a sečtěte na výslednou vlnu +- podmínky extrémních stavů +- aplikace + +### Definujte a vysvětlete **fotometrické veličiny** +- **světelný tok** (jak se liší od zářivého toku) +- **svítivost a jas** - přesné definice a vysvětlení (také použítých veličin) (obrázky) +- co to je **izotropní bodový zdroj** a **homogenní izotropní plošný zdroj** + +### Dodatková otázka: +- Uveďte základní vlastnosti **těžiště** soustavy hmotných bodů (tělesa) a odvoďte vztah pro jeho polohu. +- Proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa? +- Jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa? diff --git a/KFY FYI1/Zkouška/_assets/soustavy.svg b/KFY FYI1/Zkouška/_assets/soustavy.svg index de34b60..c1eb792 100644 --- a/KFY FYI1/Zkouška/_assets/soustavy.svg +++ b/KFY FYI1/Zkouška/_assets/soustavy.svg @@ -1,4 +1,4 @@ -
S
S
S'
S'
r
r
m
m
r'
r'
R
RText is not SVG - cannot display \ No newline at end of file +
S
S
z
z
x
x
y
y
S'
S'
z'
z'
x'
x'
y'
y'
r
r
m
m
r'
r'
R
RText is not SVG - cannot display \ No newline at end of file