FAV-ZCU/KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md

Popište a vysvětlete inerciální a neinerciální souřadné soustavy

• základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
• platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
• co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
• kdy působí setrvačné síly (tři druhy těchto sil) a kam směřují (obrázek)

Základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)

Inerciální soustavy (inercie = setrvačnost)

• vztažná soustava, která se pohybuje rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu
  • rovnoměrně - rychlost se v čase nemění
  • přímočaře - směr se v čase nemění
• Newtononovy zákony platí bez jakýchkoliv úprav

Neinerciální soustavy

• vztažná soustava, která se pohybuje zrychleně (např. zrychleně rovnoměrně, po kruhové dráze, ...)
• kromě skutečných sil brány v úvahu také zdánlivé (inertní) síly
  • setrvačná síla, Coriolisova síla, centrifugální (odstředivá) síla
• pro použití Newtonových zákonů je potřeba přidávat tyto zdánlivé síly

Máme dvě vzájemně nezávislé soustavy S a S', ve kterých pozorujeme stejný hmotný bod m

• osy zůstávají rovnoběžné a pohybují se vůči sobě (posuvný pohyb nebo-li translace)

Průvodiče jsou vektory polohy r, r' závisící na čase t

• vedou od počátku souřadnicového systému k poloze tělesa m
• pokud se těleso pohybuje v dané soustavě, průvodič se v čase mění a jeho změna určuje rychlost tělesa v dané soustavě

Z obrázku je zřejmý vztah pro průvodiče

• \displaystyle\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}

Derivace podle času - vztah pro rychlost

• \displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{t}
  • můžeme upravit, rychlost je vyjádřena jako v = \frac{dr}{dt}
• \vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}
  • \vec{v} je rychlost bodu v soustavě S
  • \vec{v}' je rychlost stejného bodu v soustavě S'
  • \vec{u} je unášivá rychlost, tedy rychlost, s jakou se soustava S' pohybuje vzhledem k soustavě S (hmotný bod je soustavou unášen)

Derivace vzorce rychlosti podle času - vztah pro zrychlení

• \displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} + \frac{d\vec{u}}{dt}
  • můžeme upravit, zrychlení je časovou derivací rychlosti
• \vec{a} = \vec{a}' + \vec{a}_{u}
  • \vec{a} je zrychlení bodu v soustavě S
  • \vec{a}' je zrychlení stejného bodu v soustavě S'
  • \vec{a}_{u} je unášivé zrychlení soustavy S' vůči soustavě S

Platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách

První Newtonův zákon (zákon setrvačnosti)

• Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí žádná výsledná síla (součet všech sil).

Druhý Newtonův zákon (zákon síly)

• Zrychlení tělesa je přímo úměrné výsledné síle působící na těleso a nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Tento vztah je vyjádřen rovnicí \vec{F} = m\vec{a}.
  • hmotnost je míra setrvačnosti, brání v pohybu

Rovnoměrný přímočarý pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• unášivá rychlost mezi soustavami je konstantní
  • \vec{u} = \text{konst.}
• v soustavě S platí pro těleso zákon setrvačnosti (1. NZ)
  • těleso se bez působení sil pohybuje v soustavě S rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu
  • rychlost v soustavě S je tedy konstantní včetně nuly
    • \vec{v} = \text{konst.}
  • z výše uvedených vztahů plyne, že rychlost v soustavě S' bude také konstantní
    • \vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} = \text{konst.}
  • zákon setrvačnosti platí v obou soustavách, nazývají se tedy inerciální (setrvačné)
  • v těchto soustavách platí Galileovy transformace
• platnost 2. NZ v soustavě S'
  • předpokládejme, že pro hmotný bod v soustavě S neplatí 1. NZ, ale působením těles se začal pohybovat podle zákona síly: \vec{F} = m\vec{a}
  • při konstantní unášivé rychlosti \vec{u} soustavy S' je její unášivé zrychlení nulové
    • \displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{d}{dt}(\text{konst}) = 0
  • ze vztahů plyne rovnost zrychlení \vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} = \vec{a}
  • pohybová rovnice v S' má tedy tvar
    • m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a}-\vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a} = \vec{F} = \vec{F}'
  • v obou soustavách jsou tedy stejná zrychlení i stejné síly
    • pohybová rovnice tedy platí v nezměněném tvaru v každé inerciální soustavě
    • pohybové rovnice jsou invariantní vůči Galileově transformaci

Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• pohyb musí být stále translací (osy se tedy neotáčí)
• unášivá rychlost je nyní obecně proměnnou veličinou
  • může měnit velikost, směr i orientaci
  • \vec{u} \neq \text{konst.}
• při křivočarém pohybu soustavy S' je její unášivé zrychlení nenulové
  • rychlost se tedy v průběhu mění
  • \vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} \neq 0
• v případě konstantní rychlosti tělesa v soustavě S nebude v S' rychlost konstantní
  • \vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}
  • kvůli tomu v soustavě S' neplatí zákon setrvačnosti a jedná se tak o neinerciální soustavu
• jelikož je unášivé zrychlení nenulové, tak je zrychlení bodu v soustavě S' odlišné od zrychlení stejného bodu v soustavě S
  • \vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u}
• pohybová rovnice v S' má poté tvar
  • m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a} - \vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a}-m\cdot \vec{a}_{u} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'
  • v obou soustavách jsou nyní jiná zrychlení i jiné síly
  • pohybová rovnice není invariantní
    • změnila svůj tvar a kromě původní působící síly se zde objevuje nová setrvačná síla závisející na unášivém zrychlení soustavy

Co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí

Jedná se o transformační vztahy pro převod souřadnic mezi dvěma inerciálními soustavami

• \vec{r} = \vec{r}' + \vec{R} \implies \vec{r}' = \vec{r} - \vec{R} - budeme počítat souřadnice ve druhé soustavě
• tento vztah je možné rozložit na tři rovnice
  • x' = x - R_{x}
  • y' = y - R_{y}
  • z' = z - R_{z}
• použitím rovnice s = v\cdot t rozložíme R_{i} na u_{i}\cdot t, čímž získáme Galileovy transformace
  • x' = x - u_{x}\cdot t
  • y' = y - u_{y}\cdot t
  • z' = z - u_{z}\cdot t
  • t = t' (souřadnice počítáme ve stejném čase)
• pokud vyjádříme x, y, z místo x', y', z', tak získáme inverzní Galileovy transformace
  • x = x' + u_{x}\cdot t
  • y = y' + u_{y}\cdot t
  • z = z' + u_{z}\cdot t
  • t = t'

Podmínky

• soustavy S a S' se vůči sobě pohybují posuvným pohybem (translací)
  • osy soustav musí zachovávat svůj směr
• obě dvě soustavy musí být inerciální
• v nulovém čase (t = 0) obě soustavy splývají (jejich počátky jsou na stejném místě, tedy O' = O)

Kdy působí setrvačné síly a kam směřují (obrázek)

Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• setrvačná síla (v neinerciální soustavě)
  • \vec{F}^* = -m\cdot \vec{a}_{u}
• rozložení setrvačné síly na složky
  • \vec{a}_{u} = \vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}
  • \vec{F}_{n}^* = -m(\vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}) = -m\vec{a}_{n} -m\vec{a}_{t} = \vec{F}^*_{n} + \vec{F}^*_{t}
  • odstředivá síla
    • \displaystyle\vec{F}^*_{n} = -m\vec{a}_{n} = -m\cdot \frac{u^2}{R}\cdot \vec{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times \vec{\omega}\times \vec{r}
    • má opačný směr oproti dostředivé síle
  • Eulerova (setrvačná) síla
    • \displaystyle\vec{F}^*_{t} = -m\vec{a}_{t} = -m\cdot \frac{du}{dt}\cdot \vec{t} = -m\cdot \vec{\epsilon} \times \vec{r}
    • má opačný směr oproti tečné síle

Rotační pohyb soustavy S' vůči soustavě S

• předpoklady
  • inerciální soustava S je v klidu
  • neinerciální soustava S' se otáčí úhlovou rychlostí \omega kolem společných os z = z'
  • počátky obou soustav splývají (O = O')
• sledujeme jediný hmotný bod m v soustavách S i S'
  • počátky obou soustav splývají, vektory jsou tedy totožné (\vec{r} = \vec{r}')
  • souřadnice tohoto jediného vektoru jsou v obou soustavách různé
• hmotný bod je se soustavou S' pevně spojený
  • je vůči ní v klidu a je touto soustavou unášen
  • jeho unášivá rychlost rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu
    • \vec{u} = \vec{\omega}\times \vec{r}
• bod se může v S' pohybovat i samostatně
  • navíc s rychlostí \vec{v}'
  • skládání rychlostí v soustavě S - \vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega}\times \vec{r}
• obecný vztah mezi derivacemi libovolného vektoru
  • vektor \vec{A} ve dvou vztažných soustavách
  • v inerciální soustavě S a neinerciální soustavě S' rotující úhlovou rychlostí \vec{\omega}
  • \displaystyle\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A}
• vztah výše lze využít pro výpočet zrychlení hmotného bodu v neinerciální soustavě
  • \displaystyle\frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d'\vec{v}'}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • \displaystyle\vec{a}' = \frac{d'\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} - \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • \displaystyle\vec{a}' = \frac{d}{dt}(\vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{r}) - \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • \displaystyle\vec{a}' = \vec{a} - \vec{\epsilon}\times \vec{r} - \vec{\omega}\times \vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • m\cdot\vec{a}' = m\cdot\vec{a} - m\cdot\vec{\epsilon}\times \vec{r} - m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - 2\cdot m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'
  • m\cdot \vec{a} = \vec{F} + \vec{F}^*_{1} + \vec{F}^*_{2} + \vec{F}^*_{3} = \vec{F}'
• kromě skutečné síly \vec{F} je potřeba započítat tři další
  • \vec{F}^*_{1} = \vec{F}^*_{t} = -m\cdot \vec{\epsilon}\times \vec{r} - Eulerova (setrvačná) síla
  • \vec{F}^*_{2} = \vec{F}^*_{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - odstředivá síla
  • \vec{F}^*_{3} = \vec{F}^*_{C} = -2m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}' - Coriolisova síla
    • objevuje se pouze, pokud se hmotný bod pohybuje rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace (tedy z = z')

Popište a vysvětlete tlumený harmonický oscilátor

• výchozí podmínky - všechny působící síly
• sestavení pohybové rovnice - její řešení pro různé velikosti tlumení (včetně grafů)
• jaká je perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmitavého řešení
• co je to útlum a kvalita oscilátoru
• stav velmi malého tlumení

Popište skládání dvou rovinných vln stejné frekvence postupujících stejným směrem

• sestavte výchozí rovnice pro obě vlny (od dvou koherentních zdrojů na ose x) (obrázek)
• převeďte na komplexní tvary - a sečtěte na výslednou vlnu
• podmínky extrémních stavů
• aplikace

Definujte a vysvětlete fotometrické veličiny

• světelný tok (jak se liší od zářivého toku)
• svítivost a jas - přesné definice a vysvětlení (také použítých veličin) (obrázky)
• co to je izotropní bodový zdroj a homogenní izotropní plošný zdroj

Dodatková otázka:

• Uveďte základní vlastnosti těžiště soustavy hmotných bodů (tělesa) a odvoďte vztah pro jeho polohu.
• Proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa?
• Jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa?