Přidání zkouškového testu z FYI a vypracované otázky na inerciální a neinerciální soustavy
This commit is contained in:
parent
b85eaee147
commit
21d76aef45
2 changed files with 193 additions and 1 deletions
192
KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md
Normal file
192
KFY FYI1/Zkouška/Zkouškový test.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,192 @@
|
||||||
|
### Popište a vysvětlete **inerciální a neinerciální** souřadné soustavy
|
||||||
|
- základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
|
||||||
|
- platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
|
||||||
|
- co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
|
||||||
|
- kdy působí setrvačné síly (tři druhy těchto sil) a kam směřují (obrázek)
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Základní vztahy pro průvodiče, rychlosti a zrychlení (obrázek)
|
||||||
|
|
||||||
|
**Inerciální soustavy** (inercie = setrvačnost)
|
||||||
|
- vztažná soustava, která se **pohybuje rovnoměrně přímočaře** nebo je v klidu
|
||||||
|
- **rovnoměrně** - rychlost se v čase nemění
|
||||||
|
- **přímočaře** - směr se v čase nemění
|
||||||
|
- Newtononovy zákony platí bez jakýchkoliv úprav
|
||||||
|
|
||||||
|
**Neinerciální soustavy**
|
||||||
|
- vztažná soustava, která se pohybuje **zrychleně** (např. zrychleně rovnoměrně, po kruhové dráze, ...)
|
||||||
|
- kromě skutečných sil brány v úvahu také zdánlivé (inertní) síly
|
||||||
|
- **setrvačná síla, Coriolisova síla, centrifugální (odstředivá) síla**
|
||||||
|
- pro použití Newtonových zákonů je potřeba přidávat tyto zdánlivé síly
|
||||||
|
|
||||||
|
Máme dvě vzájemně nezávislé soustavy $S$ a $S'$, ve kterých pozorujeme stejný hmotný bod $m$
|
||||||
|
- osy zůstávají rovnoběžné a pohybují se vůči sobě (**posuvný pohyb nebo-li translace**)
|
||||||
|
|
||||||
|
Průvodiče jsou vektory polohy $r, r'$ závisící na čase $t$
|
||||||
|
- vedou od počátku souřadnicového systému k poloze tělesa $m$
|
||||||
|
- pokud se těleso pohybuje v dané soustavě, průvodič se v čase mění a jeho změna určuje rychlost tělesa v dané soustavě
|
||||||
|
|
||||||
|
![](_assets/soustavy.svg)
|
||||||
|
|
||||||
|
Z obrázku je zřejmý **vztah pro průvodiče**
|
||||||
|
- $\displaystyle\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}$
|
||||||
|
|
||||||
|
Derivace podle času - **vztah pro rychlost**
|
||||||
|
- $\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{t}$
|
||||||
|
- můžeme upravit, rychlost je vyjádřena jako $v = \frac{dr}{dt}$
|
||||||
|
- $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$
|
||||||
|
- $\vec{v}$ je rychlost bodu v soustavě $S$
|
||||||
|
- $\vec{v}'$ je rychlost stejného bodu v soustavě $S'$
|
||||||
|
- $\vec{u}$ je **unášivá rychlost**, tedy rychlost, s jakou se soustava $S'$ pohybuje vzhledem k soustavě $S$ (hmotný bod je soustavou unášen)
|
||||||
|
|
||||||
|
Derivace vzorce rychlosti podle času - **vztah pro zrychlení**
|
||||||
|
- $\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} + \frac{d\vec{u}}{dt}$
|
||||||
|
- můžeme upravit, zrychlení je časovou derivací rychlosti
|
||||||
|
- $\vec{a} = \vec{a}' + \vec{a}_{u}$
|
||||||
|
- $\vec{a}$ je zrychlení bodu v soustavě $S$
|
||||||
|
- $\vec{a}'$ je zrychlení stejného bodu v soustavě $S'$
|
||||||
|
- $\vec{a}_{u}$ je **unášivé zrychlení** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Platnost 1. a 2. Newtonova zákona v těchto soustavách
|
||||||
|
|
||||||
|
První Newtonův zákon (zákon setrvačnosti)
|
||||||
|
- Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí žádná výsledná síla (součet všech sil).
|
||||||
|
|
||||||
|
Druhý Newtonův zákon (zákon síly)
|
||||||
|
- Zrychlení tělesa je přímo úměrné výsledné síle působící na těleso a nepřímo úměrné jeho hmotnosti. Tento vztah je vyjádřen rovnicí $\vec{F} = m\vec{a}$.
|
||||||
|
- hmotnost je míra setrvačnosti, brání v pohybu
|
||||||
|
|
||||||
|
**Rovnoměrný přímočarý pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
|
||||||
|
- unášivá rychlost mezi soustavami je konstantní
|
||||||
|
- $\vec{u} = \text{konst.}$
|
||||||
|
- v soustavě $S$ platí pro těleso **zákon setrvačnosti** (1. NZ)
|
||||||
|
- těleso se bez působení sil pohybuje v soustavě $S$ rovnoměrným přímočarým pohybem nebo je v klidu
|
||||||
|
- rychlost v soustavě $S$ je tedy konstantní včetně nuly
|
||||||
|
- $\vec{v} = \text{konst.}$
|
||||||
|
- z výše uvedených vztahů plyne, že rychlost v soustavě $S'$ bude také konstantní
|
||||||
|
- $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} = \text{konst.}$
|
||||||
|
- **zákon setrvačnosti platí v obou soustavách**, nazývají se tedy inerciální (setrvačné)
|
||||||
|
- v těchto soustavách platí **Galileovy transformace**
|
||||||
|
- platnost 2. NZ v soustavě $S'$
|
||||||
|
- předpokládejme, že pro hmotný bod v soustavě $S$ neplatí 1. NZ, ale působením těles se začal pohybovat podle zákona síly: $\vec{F} = m\vec{a}$
|
||||||
|
- při konstantní **unášivé rychlosti** $\vec{u}$ soustavy $S'$ je její **unášivé zrychlení nulové**
|
||||||
|
- $\displaystyle\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{d}{dt}(\text{konst}) = 0$
|
||||||
|
- ze vztahů plyne rovnost zrychlení $\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u} = \vec{a}$
|
||||||
|
- pohybová rovnice v $S'$ má tedy tvar
|
||||||
|
- $m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a}-\vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a} = \vec{F} = \vec{F}'$
|
||||||
|
- v obou soustavách jsou tedy **stejná zrychlení** i **stejné síly**
|
||||||
|
- pohybová rovnice tedy platí v nezměněném tvaru v každé inerciální soustavě
|
||||||
|
- pohybové rovnice jsou invariantní vůči Galileově transformaci
|
||||||
|
|
||||||
|
**Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
|
||||||
|
- pohyb musí být stále translací (osy se tedy neotáčí)
|
||||||
|
- **unášivá rychlost** je nyní obecně proměnnou veličinou
|
||||||
|
- může měnit velikost, směr i orientaci
|
||||||
|
- $\vec{u} \neq \text{konst.}$
|
||||||
|
- při křivočarém pohybu soustavy $S'$ je její **unášivé zrychlení nenulové**
|
||||||
|
- rychlost se tedy v průběhu mění
|
||||||
|
- $\vec{a}_{u} = \frac{d\vec{u}}{dt} \neq 0$
|
||||||
|
- v případě konstantní rychlosti tělesa v soustavě $S$ nebude v $S'$ rychlost konstantní
|
||||||
|
- $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}$
|
||||||
|
- kvůli tomu v soustavě $S'$ **neplatí zákon setrvačnosti** a jedná se tak o **neinerciální soustavu**
|
||||||
|
- jelikož je unášivé zrychlení nenulové, tak je zrychlení bodu v soustavě $S'$ odlišné od zrychlení stejného bodu v soustavě $S$
|
||||||
|
- $\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a}_{u}$
|
||||||
|
- pohybová rovnice v $S'$ má poté tvar
|
||||||
|
- $m\cdot \vec{a}' = m\cdot(\vec{a} - \vec{a}_{u}) = m\cdot \vec{a}-m\cdot \vec{a}_{u} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'$
|
||||||
|
- v obou soustavách jsou nyní **jiná zrychlení** i **jiné síly**
|
||||||
|
- pohybová rovnice **není invariantní**
|
||||||
|
- změnila svůj tvar a kromě původní působící síly se zde objevuje **nová setrvačná síla** závisející na unášivém zrychlení soustavy
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Co jsou to Galileovy transformace a za jakých podmínek platí
|
||||||
|
|
||||||
|
Jedná se o transformační vztahy pro převod souřadnic mezi dvěma inerciálními soustavami
|
||||||
|
- $\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R} \implies \vec{r}' = \vec{r} - \vec{R}$ - budeme počítat souřadnice ve druhé soustavě
|
||||||
|
- tento vztah je možné rozložit na tři rovnice
|
||||||
|
- $x' = x - R_{x}$
|
||||||
|
- $y' = y - R_{y}$
|
||||||
|
- $z' = z - R_{z}$
|
||||||
|
- použitím rovnice $s = v\cdot t$ rozložíme $R_{i}$ na $u_{i}\cdot t$, čímž získáme **Galileovy transformace**
|
||||||
|
- $x' = x - u_{x}\cdot t$
|
||||||
|
- $y' = y - u_{y}\cdot t$
|
||||||
|
- $z' = z - u_{z}\cdot t$
|
||||||
|
- $t = t'$ (souřadnice počítáme ve stejném čase)
|
||||||
|
- pokud vyjádříme $x, y, z$ místo $x', y', z'$, tak získáme **inverzní Galileovy transformace**
|
||||||
|
- $x = x' + u_{x}\cdot t$
|
||||||
|
- $y = y' + u_{y}\cdot t$
|
||||||
|
- $z = z' + u_{z}\cdot t$
|
||||||
|
- $t = t'$
|
||||||
|
|
||||||
|
Podmínky
|
||||||
|
- soustavy $S$ a $S'$ se vůči sobě pohybují **posuvným pohybem** (translací)
|
||||||
|
- osy soustav musí zachovávat svůj směr
|
||||||
|
- obě dvě soustavy musí být **inerciální**
|
||||||
|
- **v nulovém čase** ($t = 0$) **obě soustavy splývají** (jejich počátky jsou na stejném místě, tedy $O' = O$)
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Kdy působí setrvačné síly a kam směřují (obrázek)
|
||||||
|
|
||||||
|
**Nerovnoměrný křivočarý (posuvný) pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
|
||||||
|
- **setrvačná síla** (v neinerciální soustavě)
|
||||||
|
- $\vec{F}^* = -m\cdot \vec{a}_{u}$
|
||||||
|
- rozložení setrvačné síly na složky
|
||||||
|
- $\vec{a}_{u} = \vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}$
|
||||||
|
- $\vec{F}_{n}^* = -m(\vec{a}_{n} + \vec{a}_{t}) = -m\vec{a}_{n} -m\vec{a}_{t} = \vec{F}^*_{n} + \vec{F}^*_{t}$
|
||||||
|
- **odstředivá síla**
|
||||||
|
- $\displaystyle\vec{F}^*_{n} = -m\vec{a}_{n} = -m\cdot \frac{u^2}{R}\cdot \vec{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times \vec{\omega}\times \vec{r}$
|
||||||
|
- má opačný směr oproti dostředivé síle
|
||||||
|
- **Eulerova (setrvačná) síla**
|
||||||
|
- $\displaystyle\vec{F}^*_{t} = -m\vec{a}_{t} = -m\cdot \frac{du}{dt}\cdot \vec{t} = -m\cdot \vec{\epsilon} \times \vec{r}$
|
||||||
|
- má opačný směr oproti tečné síle
|
||||||
|
|
||||||
|
**Rotační pohyb** soustavy $S'$ vůči soustavě $S$
|
||||||
|
- předpoklady
|
||||||
|
- inerciální soustava $S$ je v klidu
|
||||||
|
- neinerciální soustava $S'$ se otáčí úhlovou rychlostí $\omega$ kolem **společných os** $z = z'$
|
||||||
|
- počátky obou soustav splývají ($O = O'$)
|
||||||
|
- sledujeme jediný hmotný bod $m$ v soustavách $S$ i $S'$
|
||||||
|
- počátky obou soustav splývají, vektory jsou tedy totožné ($\vec{r} = \vec{r}'$)
|
||||||
|
- souřadnice tohoto jediného vektoru jsou v obou soustavách různé
|
||||||
|
- hmotný bod je se soustavou $S'$ pevně spojený
|
||||||
|
- je vůči ní v klidu a je touto soustavou unášen
|
||||||
|
- jeho unášivá rychlost rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu
|
||||||
|
- $\vec{u} = \vec{\omega}\times \vec{r}$
|
||||||
|
- bod se může v $S'$ pohybovat i samostatně
|
||||||
|
- navíc s rychlostí $\vec{v}'$
|
||||||
|
- skládání rychlostí v soustavě $S$ - $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{\omega}\times \vec{r}$
|
||||||
|
- **obecný vztah mezi derivacemi libovolného vektoru**
|
||||||
|
- vektor $\vec{A}$ ve dvou vztažných soustavách
|
||||||
|
- v inerciální soustavě $S$ a neinerciální soustavě $S'$ rotující úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$
|
||||||
|
- $\displaystyle\frac{d\vec{A}}{dt} = \frac{d'\vec{A}}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{A}$
|
||||||
|
- vztah výše lze využít pro výpočet zrychlení hmotného bodu v neinerciální soustavě
|
||||||
|
- $\displaystyle\frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d'\vec{v}'}{dt} + \vec{\omega}\times \vec{v}'$
|
||||||
|
- $\displaystyle\vec{a}' = \frac{d'\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}'}{dt} - \vec{\omega}\times \vec{v}'$
|
||||||
|
- $\displaystyle\vec{a}' = \frac{d}{dt}(\vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{r}) - \vec{\omega}\times \vec{v}'$
|
||||||
|
- $\displaystyle\vec{a}' = \vec{a} - \vec{\epsilon}\times \vec{r} - \vec{\omega}\times \vec{v} - \vec{\omega}\times \vec{v}'$
|
||||||
|
- $m\cdot\vec{a}' = m\cdot\vec{a} - m\cdot\vec{\epsilon}\times \vec{r} - m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r}) - 2\cdot m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'$
|
||||||
|
- $m\cdot \vec{a} = \vec{F} + \vec{F}^*_{1} + \vec{F}^*_{2} + \vec{F}^*_{3} = \vec{F}'$
|
||||||
|
- kromě skutečné síly $\vec{F}$ je potřeba započítat tři další
|
||||||
|
- $\vec{F}^*_{1} = \vec{F}^*_{t} = -m\cdot \vec{\epsilon}\times \vec{r}$ - **Eulerova (setrvačná) síla**
|
||||||
|
- $\vec{F}^*_{2} = \vec{F}^*_{n} = -m\cdot \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})$ - **odstředivá síla**
|
||||||
|
- $\vec{F}^*_{3} = \vec{F}^*_{C} = -2m\cdot \vec{\omega}\times \vec{v}'$ - **Coriolisova síla**
|
||||||
|
- objevuje se pouze, pokud se hmotný bod pohybuje rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace (tedy $z = z'$)
|
||||||
|
|
||||||
|
### Popište a vysvětlete **tlumený** harmonický oscilátor
|
||||||
|
- výchozí podmínky - všechny působící síly
|
||||||
|
- sestavení pohybové rovnice - její řešení pro různé velikosti tlumení (včetně grafů)
|
||||||
|
- jaká je perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmitavého řešení
|
||||||
|
- co je to útlum a kvalita oscilátoru
|
||||||
|
- stav velmi malého tlumení
|
||||||
|
|
||||||
|
### Popište skládání dvou **rovinných vln stejné** frekvence postupujících **stejným** směrem
|
||||||
|
- sestavte výchozí rovnice pro obě vlny (od dvou koherentních zdrojů na ose x) (obrázek)
|
||||||
|
- převeďte na komplexní tvary - a sečtěte na výslednou vlnu
|
||||||
|
- podmínky extrémních stavů
|
||||||
|
- aplikace
|
||||||
|
|
||||||
|
### Definujte a vysvětlete **fotometrické veličiny**
|
||||||
|
- **světelný tok** (jak se liší od zářivého toku)
|
||||||
|
- **svítivost a jas** - přesné definice a vysvětlení (také použítých veličin) (obrázky)
|
||||||
|
- co to je **izotropní bodový zdroj** a **homogenní izotropní plošný zdroj**
|
||||||
|
|
||||||
|
### Dodatková otázka:
|
||||||
|
- Uveďte základní vlastnosti **těžiště** soustavy hmotných bodů (tělesa) a odvoďte vztah pro jeho polohu.
|
||||||
|
- Proč říkáme, že těžiště je rovnovážný bod tělesa?
|
||||||
|
- Jak je těžiště užitečné pro popis pohybu celého tělesa?
|
File diff suppressed because one or more lines are too long
Before Width: | Height: | Size: 20 KiB After Width: | Height: | Size: 28 KiB |
Loading…
Reference in a new issue