Přidání poznámek k funkcím a oprava překlepu v M1
This commit is contained in:
parent
99fb5e8945
commit
1a7dde510e
2 changed files with 46 additions and 13 deletions
|
@ -74,7 +74,7 @@ Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **nezápornými** členy a čadu $\sum b_{n}$
|
||||||
1) Řada $\sum a_{n}$ konverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
|
1) Řada $\sum a_{n}$ konverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
|
||||||
2) Řada $\sum a_{n}$ diverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
|
2) Řada $\sum a_{n}$ diverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
|
||||||
|
|
||||||
#### d’Alembertovo krit ́erium
|
#### d’Alembertovo kritérium
|
||||||
|
|
||||||
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **kladnými** členy.
|
Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **kladnými** členy.
|
||||||
1) Jestliže existuje $q \in (0, 1)$ takové, že $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.
|
1) Jestliže existuje $q \in (0, 1)$ takové, že $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.
|
||||||
|
|
|
@ -1,8 +1,24 @@
|
||||||
# Funkce
|
# Funkce
|
||||||
|
|
||||||
- definována
|
Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení $f$ s definičním oborem $D \subset \mathbb{R}$ a oborem hodnot $H \subset \mathbb{R}$.
|
||||||
- **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$)
|
- Každému argumentu $x \in D$ je přiřazena právě jedna funkční hodnota $y = f(x) \in \mathbb{R}$.
|
||||||
- **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$)
|
|
||||||
|
Každá funkce je definována zároveň
|
||||||
|
- **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$),
|
||||||
|
- **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$).
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dvě funkce $f$ a $g$.
|
||||||
|
1) Funkce $f$ a $g$ jsou si **rovny**, pokud $D(f) = D(g)$ a pro každé $x \in D(f)$ platí $f(x) = g(x)$.
|
||||||
|
2) Funkce $f$ je **zúžením (restrikcí)** funkce $g$, pokud $D(f) \subset D(g)$ a pro každé $x \in D(f)$ platí $f(x) = g(x)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dány dvě funkce $f, g$ se stejným definičním oborem $D$.
|
||||||
|
|
||||||
|
| typ | zápis | definice |
|
||||||
|
| ----------------- | -------------------------- | ---------------------------------------------- |
|
||||||
|
| **součet funkcí** | $f+g$ | $y = f(x) + g(x), x \in D$ |
|
||||||
|
| **rozdíl funkcí** | $f-g$ | $y = f(x) - g(x), x \in D$ |
|
||||||
|
| **součin funkcí** | $f \cdot g$ | $y = f(x) \cdot g(x), x \in D$ |
|
||||||
|
| **podíl funkcí** | $\displaystyle\frac{f}{g}$ | $\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}, x \in D$ |
|
||||||
|
|
||||||
### Definiční obor $D_{f}$
|
### Definiční obor $D_{f}$
|
||||||
|
|
||||||
|
@ -25,13 +41,15 @@
|
||||||
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
|
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
|
||||||
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
|
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
|
||||||
|
|
||||||
|
Je-li funkce $f$ **ostře monotónní**, potom je **prostá**.
|
||||||
|
|
||||||
### Symetrie
|
### Symetrie
|
||||||
|
|
||||||
- **Sudá**
|
- **Sudá**
|
||||||
- symetrická podle osy Y
|
- symetrická podle osy Y
|
||||||
- $\forall x\in D_{f} :$
|
- $\forall x\in D_{f} :$
|
||||||
- $-x \in D_{f}$
|
- $-x \in D_{f}$
|
||||||
- $f(x) = f(-x)$
|
- $f(-x) = f(x)$
|
||||||
- **Lichá**
|
- **Lichá**
|
||||||
- symetrická podle bodu $[0, 0]$
|
- symetrická podle bodu $[0, 0]$
|
||||||
- $\forall x\in D_{f} :$
|
- $\forall x\in D_{f} :$
|
||||||
|
@ -48,14 +66,14 @@
|
||||||
|
|
||||||
### Prostá funkce
|
### Prostá funkce
|
||||||
|
|
||||||
- žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje
|
Funkce $f$, v jejíž oboru hodnot $H(f)$ se žádná hodnota neopakuje.
|
||||||
- $\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$
|
- $\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$
|
||||||
|
|
||||||
### Periodicita
|
### Periodicita
|
||||||
|
|
||||||
- periodická funkce s periodou $T > 0$
|
Funkce je periodická, jestliže existuje $T > 0$ takové, že platí:
|
||||||
- $\forall x \in D_{f} :$
|
- $\forall x \in D_{f} :$
|
||||||
- $x \pm T \in D_{f}$
|
- $(x \pm T) \in D_{f}$
|
||||||
- $f(x \pm T) = f(x)$
|
- $f(x \pm T) = f(x)$
|
||||||
|
|
||||||
### Konvexní / konkávní
|
### Konvexní / konkávní
|
||||||
|
@ -63,12 +81,28 @@
|
||||||
- konvexní: šťastný smajlík
|
- konvexní: šťastný smajlík
|
||||||
- konkávní: smutný smajlík
|
- konkávní: smutný smajlík
|
||||||
|
|
||||||
|
### Rovnice o jedné neznámé
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dánu funkci $f$ a reálné číslo $b$.
|
||||||
|
- Úloha najít $x_{0} \in D(f)$ takové, že $f(x_{0}) = b$, se nazývá **rovnice o jedné neznámé** a zapisuje se $f(x) = b$.
|
||||||
|
- Číslo $x_{0}$ je **řesení** (či **kořen**) rovnice.
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dánu rovnici $f(x) = b$.
|
||||||
|
|
||||||
|
| podmínka | řešení |
|
||||||
|
| ---------------------------- | ----------------------------- |
|
||||||
|
| $b \in H(f)$ | $\geq 1 \quad$ alespoň jedno řešení |
|
||||||
|
| $f$ je prostá | $\leq 1 \quad$ nejvýše jedno řešení |
|
||||||
|
| $b \in H(f)$ a $f$ je prostá | $= 1 \quad$ právě jedno řešení |
|
||||||
|
|
||||||
### Inverzní funkce
|
### Inverzní funkce
|
||||||
|
|
||||||
Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní.
|
Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než původní funkce.
|
||||||
- existuje pouze u funkcí **prostých**
|
- existuje pouze u funkcí **prostých**
|
||||||
- $f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x$
|
- $f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x$
|
||||||
|
|
||||||
|
Je-li funkce **ostře monotónní**, potom existuje inverzní funkce.
|
||||||
|
|
||||||
Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatníme x ($\frac{y}{2} = x$).
|
Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatníme x ($\frac{y}{2} = x$).
|
||||||
|
|
||||||
| funkce | podmínka | inverzní funkce |
|
| funkce | podmínka | inverzní funkce |
|
||||||
|
@ -88,12 +122,11 @@ Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatním
|
||||||
| $\text{cotan}(x)$ | $x \in (0, \pi)$ | $\text{arccotan}(x)$ |
|
| $\text{cotan}(x)$ | $x \in (0, \pi)$ | $\text{arccotan}(x)$ |
|
||||||
| $\text{arccotan}(x)$ | | $\text{cotan}(x)$ |
|
| $\text{arccotan}(x)$ | | $\text{cotan}(x)$ |
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
### Skládání funkcí
|
### Skládání funkcí
|
||||||
|
|
||||||
- zapisuje se: $f \circ g$
|
Dvě funkce, které se skládají do sebe.
|
||||||
- funkce se skládají do sebe
|
- zapisuje se $f \circ g$
|
||||||
- druhá bude vložena do první $f(g(x))$
|
- druhá bude vložena do první: $f(g(x))$
|
||||||
|
|
||||||
### Průběh funkce
|
### Průběh funkce
|
||||||
|
|
||||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue