From 1a7dde510efc13b74dcde9306c13238d5e7d9d04 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 26 Jan 2023 21:27:11 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=20pozn=C3=A1mek=20k=20fu?= =?UTF-8?q?nkc=C3=ADm=20a=20oprava=20p=C5=99eklepu=20v=20M1?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA M1/3. Nekonečné řady.md | 2 +- KMA M1/4. Funkce.md | 57 +++++++++++++++++++++++++++++-------- 2 files changed, 46 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/KMA M1/3. Nekonečné řady.md b/KMA M1/3. Nekonečné řady.md index aea9667..5946276 100644 --- a/KMA M1/3. Nekonečné řady.md +++ b/KMA M1/3. Nekonečné řady.md @@ -74,7 +74,7 @@ Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **nezápornými** členy a čadu $\sum b_{n}$ 1) Řada $\sum a_{n}$ konverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje. 2) Řada $\sum a_{n}$ diverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje. -#### d’Alembertovo krit ́erium +#### d’Alembertovo kritérium Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **kladnými** členy. 1) Jestliže existuje $q \in (0, 1)$ takové, že $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ konverguje. diff --git a/KMA M1/4. Funkce.md b/KMA M1/4. Funkce.md index 7ade1c7..1dcfc06 100644 --- a/KMA M1/4. Funkce.md +++ b/KMA M1/4. Funkce.md @@ -1,8 +1,24 @@ # Funkce -- definována - - **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$) - - **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$) +Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení $f$ s definičním oborem $D \subset \mathbb{R}$ a oborem hodnot $H \subset \mathbb{R}$. +- Každému argumentu $x \in D$ je přiřazena právě jedna funkční hodnota $y = f(x) \in \mathbb{R}$. + +Každá funkce je definována zároveň + - **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$), + - **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$). + +Mějme dvě funkce $f$ a $g$. +1) Funkce $f$ a $g$ jsou si **rovny**, pokud $D(f) = D(g)$ a pro každé $x \in D(f)$ platí $f(x) = g(x)$. +2) Funkce $f$ je **zúžením (restrikcí)** funkce $g$, pokud $D(f) \subset D(g)$ a pro každé $x \in D(f)$ platí $f(x) = g(x)$. + +Mějme dány dvě funkce $f, g$ se stejným definičním oborem $D$. + +| typ | zápis | definice | +| ----------------- | -------------------------- | ---------------------------------------------- | +| **součet funkcí** | $f+g$ | $y = f(x) + g(x), x \in D$ | +| **rozdíl funkcí** | $f-g$ | $y = f(x) - g(x), x \in D$ | +| **součin funkcí** | $f \cdot g$ | $y = f(x) \cdot g(x), x \in D$ | +| **podíl funkcí** | $\displaystyle\frac{f}{g}$ | $\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}, x \in D$ | ### Definiční obor $D_{f}$ @@ -25,13 +41,15 @@ | **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí | | **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí | +Je-li funkce $f$ **ostře monotónní**, potom je **prostá**. + ### Symetrie - **Sudá** - symetrická podle osy Y - $\forall x\in D_{f} :$ - $-x \in D_{f}$ - - $f(x) = f(-x)$ + - $f(-x) = f(x)$ - **Lichá** - symetrická podle bodu $[0, 0]$ - $\forall x\in D_{f} :$ @@ -48,14 +66,14 @@ ### Prostá funkce -- žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje +Funkce $f$, v jejíž oboru hodnot $H(f)$ se žádná hodnota neopakuje. - $\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ ### Periodicita -- periodická funkce s periodou $T > 0$ +Funkce je periodická, jestliže existuje $T > 0$ takové, že platí: - $\forall x \in D_{f} :$ - - $x \pm T \in D_{f}$ + - $(x \pm T) \in D_{f}$ - $f(x \pm T) = f(x)$ ### Konvexní / konkávní @@ -63,12 +81,28 @@ - konvexní: šťastný smajlík - konkávní: smutný smajlík +### Rovnice o jedné neznámé + +Mějme dánu funkci $f$ a reálné číslo $b$. +- Úloha najít $x_{0} \in D(f)$ takové, že $f(x_{0}) = b$, se nazývá **rovnice o jedné neznámé** a zapisuje se $f(x) = b$. +- Číslo $x_{0}$ je **řesení** (či **kořen**) rovnice. + +Mějme dánu rovnici $f(x) = b$. + +| podmínka | řešení | +| ---------------------------- | ----------------------------- | +| $b \in H(f)$ | $\geq 1 \quad$ alespoň jedno řešení | +| $f$ je prostá | $\leq 1 \quad$ nejvýše jedno řešení | +| $b \in H(f)$ a $f$ je prostá | $= 1 \quad$ právě jedno řešení | + ### Inverzní funkce -Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní. +Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než původní funkce. - existuje pouze u funkcí **prostých** - $f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x$ +Je-li funkce **ostře monotónní**, potom existuje inverzní funkce. + Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatníme x ($\frac{y}{2} = x$). | funkce | podmínka | inverzní funkce | @@ -88,12 +122,11 @@ Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatním | $\text{cotan}(x)$ | $x \in (0, \pi)$ | $\text{arccotan}(x)$ | | $\text{arccotan}(x)$ | | $\text{cotan}(x)$ | - ### Skládání funkcí -- zapisuje se: $f \circ g$ -- funkce se skládají do sebe - - druhá bude vložena do první $f(g(x))$ +Dvě funkce, které se skládají do sebe. +- zapisuje se $f \circ g$ +- druhá bude vložena do první: $f(g(x))$ ### Průběh funkce