6.8 KiB
Funkce
Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení f
s definičním oborem D \subset \mathbb{R}
a oborem hodnot H \subset \mathbb{R}
.
- Každému argumentu
x \in D
je přiřazena právě jedna funkční hodnotay = f(x) \in \mathbb{R}
.
Každá funkce je definována zároveň
- funkčním předpisem (f(x) = x^2
),
- definičním oborem (D_{f} = \mathbb{R}
).
Mějme dvě funkce f
a g
.
- Funkce
f
ag
jsou si rovny, pokudD(f) = D(g)
a pro každéx \in D(f)
platíf(x) = g(x)
. - Funkce
f
je zúžením (restrikcí) funkceg
, pokudD(f) \subset D(g)
a pro každéx \in D(f)
platíf(x) = g(x)
.
Mějme dány dvě funkce f, g
se stejným definičním oborem D
.
typ | zápis | definice |
---|---|---|
součet funkcí | f+g |
y = f(x) + g(x), x \in D |
rozdíl funkcí | f-g |
y = f(x) - g(x), x \in D |
součin funkcí | f \cdot g |
y = f(x) \cdot g(x), x \in D |
podíl funkcí | \displaystyle\frac{f}{g} |
\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}, x \in D |
Definiční obor D_{f}
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose X
- je možné jím funkci omezit (např.:
D_{f} = (0, 1)
) - zjišťuje se hledáním definičních oborů jiných funkcí nebo operací (např.:
\sqrt{ -2 }
nebo\frac{1}{0}
)
Obor hodnot H_{f}
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose Y
Monotonie funkce
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
R | rostoucí | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \leq f(y) |
K | klesající | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \geq f(y) |
OR | ostře rostoucí | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \lt f(y) |
OK | ostře klesající | \displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \gt f(y) |
M | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
OM | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
Je-li funkce f
ostře monotónní, potom je prostá.
Symetrie
- Sudá
- symetrická podle osy Y
\forall x\in D_{f} :
-x \in D_{f}
f(-x) = f(x)
- Lichá
- symetrická podle bodu
[0, 0]
\forall x\in D_{f} :
-x \in D_{f}
f(-x) = -f(x)
- symetrická podle bodu
Omezenost
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
OZ | omezená zdola | \exists d \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \geq d |
OS | omezená shora | \exists h \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \leq h |
O | omezená | pokud je OZ i OS |
Prostá funkce
Funkce f
, v jejíž oboru hodnot H(f)
se žádná hodnota neopakuje.
\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})
Periodicita
Funkce je periodická, jestliže existuje T > 0
takové, že platí:
\forall x \in D_{f} :
(x \pm T) \in D_{f}
f(x \pm T) = f(x)
Konvexní / konkávní
- konvexní: šťastný smajlík
- konkávní: smutný smajlík
Rovnice o jedné neznámé
Mějme dánu funkci f
a reálné číslo b
.
- Úloha najít
x_{0} \in D(f)
takové, žef(x_{0}) = b
, se nazývá rovnice o jedné neznámé a zapisuje sef(x) = b
. - Číslo
x_{0}
je řesení (či kořen) rovnice.
Mějme dánu rovnici f(x) = b
.
podmínka | řešení |
---|---|
b \in H(f) |
\geq 1 \quad alespoň jedno řešení |
f je prostá |
\leq 1 \quad nejvýše jedno řešení |
b \in H(f) a f je prostá |
= 1 \quad právě jedno řešení |
Inverzní funkce
Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než původní funkce.
- existuje pouze u funkcí prostých
f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x
Je-li funkce ostře monotónní, potom existuje inverzní funkce.
Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice (y = 2x
) a osamostatníme x (\frac{y}{2} = x
).
funkce | podmínka | inverzní funkce |
---|---|---|
x^n |
\sqrt[n]{x} |
|
\sqrt[n]{x} |
x^n |
|
e^x |
\ln(x) |
|
\ln(x) |
e^x |
|
a^x |
a > 0 |
\log_{a}(x) |
\log_{a}(x) |
a > 0 |
a^x |
\sin(x) |
x \in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle |
\arcsin(x) |
\arcsin(x) |
x \in \langle -1, 1 \rangle |
\sin(x) |
\cos(x) |
x \in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle |
\arccos(x) |
\arccos(x) |
x \in \langle -1, 1 \rangle |
\cos(x) |
\tan(x) |
x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) |
\arctan(x) |
\arctan(x) |
\tan(x) |
|
\text{cotan}(x) |
x \in (0, \pi) |
\text{arccotan}(x) |
\text{arccotan}(x) |
\text{cotan}(x) |
Skládání funkcí
Dvě funkce, které se skládají do sebe.
- zapisuje se
f \circ g
- druhá bude vložena do první:
f(g(x))
Průběh funkce
Hrubé schéma
D_f
+ limity v krajních bodech- spojitost na
D_f
, body nespojitosti - symetrie (sudá / lichá)
- periodicita
- znaménko
f(x)
+ průsečíky s osoux
- znaménko
f'(x)
+ monotonie + extrémy - znaménko
f''(x)
+ konvexita/konkávita + inflexe - asymptoty v krajních bodech
D_f
H_f