2023-01-05 11:16:33 +01:00
# Pojmy z LAA
### inverzní matice, regulární a singulární matice
- **inverzní matice**
- X je inverzní k A, jestliže platí $A * X = X * A = I$
- **regulární matice**
- **čtvercová** matice
| vlastnost | výraz |
| ----------------------------------------- | ------------------------- |
| její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$ |
| má **nenulový determinant** | $\det{A} \neq 0$ |
| **existuje** k ní **inverzní matice** | $\text{existuje } A^{-1}$ |
- Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici** .
- **singulární matice**
| vlastnost | výraz |
| ------------------------------------------ | --------------------------- |
| její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n $ |
| má **nulový determinant** | $\det{A} = 0$ |
2023-01-05 11:25:17 +01:00
| **neexistuje** k ní **inverzní matice** | $\text{neexistuje } A^{-1}$ |
2023-01-05 13:49:07 +01:00
### lineární, identické zobrazení, jádro, obraz, matice lineárního zobrazení a přechodu
2023-01-05 13:34:41 +01:00
- zobrazení (funkce) => množiny M do množiny N je předpis, kdy každému prvku z M je přiřazen právě jeden prvek z N
- **lineární zobrazení** (homomorfizmus)
- máme ** *L. V. P.***: $U, V$
- Zobrazení $\mathbb{L} : U \rightarrow V$ je **lineární zobrazení** pokud $\forall x, y \in U$ a $\forall c \in \mathbb{R}$ platí:
- 1. $\mathbb{L}(x+y) = \mathbb{L}(x) + \mathbb{L}(y)$
- 2. $\mathbb{L}(c*x) = c * \mathbb{L}(x)$
- **identické zobrazení**
- zobrazení $\mathbb{F}$ pro které platí $\mathbb{F}(x) = (x)$
- **jádro**
- Máme ** *L. V. P.***: $U, V$ a ** *linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
- **jádro lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $x \in U$ takových, že $\mathbb{L}(x) = 0_v$:
- Ker($\mathbb{L}) = \left \{ x \in U; \mathbb{L}(x) = 0_v\right \}$
- **obraz**
- Máme ** *L. V. P.***: $U, V$ a ** *linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
- **obraz lineárního zobrazení** $\mathbb{L}$ je množina všech prvků $y \in V$ takových, že $\exists \space x \in U$ tak, že $\mathbb{L}(x) = y$:
- $Im \space \mathbb{L} = \{y \in V; \space \exists x \in U, \space \mathbb{L}(x) = y \}$
- **matice lineárního zobrazení**
- Máme ** *L. V. P.***: $U, V$ a ** *linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
- **matice lineárního zobrazení** je matice M pro kterou platí: $\widehat{\mathbb{L}(u)} = M * \vec u$
2023-01-05 13:49:07 +01:00
- M = [$\widehat{\mathbb{L}(u_1)} \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_2)} \space\space ... \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_n)}$]
- **matice přechodu**
- Máme ** *L. V. P.***: $U, V$ a ** *linerní zobrazení*** $\mathbb{L} : U \rightarrow V$
- **matice přechodu $T$** je matice pro kterou platí: $T* \vec x_c = \widehat {I * \vec x_d}$
- matice přechodu $T$ od báze $D$ k bázi $C$
### determinant matice, hodnost matice, algebraický doplněk matice
- **determinant**
- **Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo
- $$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$
- kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
- součet všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkém a lichá se záporným
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
- **hodnost matice**
- počet nenulových řádků / sloupců matice
- **dimenze lineárního obalu souboru řádků / sloupců matice**
- Je to číslo, které představuje maximální počet lineárně nezávislých řádků / sloupců matice.
- **algebraický doplněk matice**
- Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
2023-01-05 15:16:19 +01:00
- $(-1)^{i+j} * \det A[\cancel{i/j}]$
### polynom proměnné x
- polynom je funkce ve tvaru součtu násobků mocninných funkcí
- $$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$
- $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$
### vlastní číslo, vektor, spektrum matice
- **vlastní číslo matice**
- máme čtvercovou matici - $A$, vlastní vektor matice $A$ - $\vec{u}$, vlastní číslo matice $A$ - $\lambda$
- pro vlastní číslo musí platit: $A * \vec u = λ * \vec u$
- **spektrum matice**
- Nechť A je čtvercová matice
- soubor všech vlastních čísel matice A
- značí se $Sp(A)$
- např.: $Sp(A) = \{3^2; -1\}$
- **vlastní vektor matice**
- Nechť A je čtvercová matice
2023-01-05 16:50:55 +01:00
- **nenulový** vektor $\vec u$ je vlastním vektorem matice $A$ příslušnému vlastnímu číslu $\lambda$, jestliže $A * \vec u = λ * \vec u$
### báze L.V.P., dimenze L.V.P., podprostor
- **báze L.V.P.**
- množina LN vektorů, které generují daný prostor
- **dimenze L.V.P.**
- počet prvků báze
- značí se: $dim(V)$
- **podprostor**
- máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
- 1. pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
- 2. pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
- každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem
### ortogonální doplněk podprostoru
- máme $V\leftarrow$ podprostor Eukleidovského prostoru $W$
- **ortogonální doplněk $V^{\perp}$ podprostoru** $V$ v $U$ je množina všech vektorů z $U$, které jsou kolmé na $V$
- $V^{\perp} = \{ \vec u \in U; \forall \space \vec v \in V; \vec u \perp \vec v \}$
- $dim(V) + dim(V^{\perp}) = dim(W)$
### lineárně závislé prvky, lin. kombinace prvků
- **lineárně závislé prvky**
- máme L. V. P.: $V$
- máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
- prvky jsou **lineárně závislé** (LZ) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n \neq 0$
- **lineárně nezávislé prvky**
- máme L. V. P.: $V$
- máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
- prvky jsou **lineárně nezávislé** (LN) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n = 0$
- **lineární kombinace prvků**
- máme L. V. P.: $V$
- máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
- **lineární kombinace prvků**: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n$
### kvadratická forma, inercie, definitnost kvadratické formy, hlavní minor
- **kvadratická forma**
- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu n
- **kvadratická forma** určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$
- **inercie**
- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice
- **inercie** je Trojice čísel ($k$, $z$, $d$)
- $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A** ;
- $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A** ;
- $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A** .
- **definitnost kvadratické formy**
- vyjadřuje, jakých hodnot nabývá forma pro všechny nenulové vektory
- pozitivně definitní: $in(\kappa) = (k, 0, 0)$
- negativně definitní: $in(\kappa) = (0, z, 0)$
- pozitivně semidefinitní: $in(\kappa) = (k, 0, d)$
- negativně semidefinitní: $in(\kappa) = (0, z, d)$
- indefinitní: $in(\kappa) = (k, z, d)$
- **hlavní minor**
- Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$.
### kořen polynomu, stupeň polynomu
- Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$
- **kořenem polynomu** $p(x)$: $c \in C$ takové, že $p(c) = 0$
### diagonální, symetrická, trojúhelníková, . . . matice
- **diagonální matice**
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
- pro $i \neq j : A_{ij} = 0$
$$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
- **symetrická matice**
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$
- $\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}$
$$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}$$
- **Antisymetrická matice**
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $-a_{ji}$
- na hlavní diagonále musí mít nuly, protože $0 = -0$
- $\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}$
$$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}$$
- **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$
- **trojúhelníková matice**
- Pro **horní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i > j$, že $a_{ij} = 0$
- Pro **dolní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i < j $, že $ a_ { ij } = 0 $
$$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
