3.6 KiB
Hodnost matice
- počet nenulových řádků matice
Řádkový a sloupcový prostor matice
U matice A typu m/n
je
- lineární obal všech řádkových vektorů (řádků) nazýván řádkovým prostorem matice A;
- lineární obal všech sloupcových vektorů (sloupců) nazýván sloupcovým prostorem matice A.
Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme řádkovou (sloupcovou) hodností matice A a značíme ji hod^r(A)
resp. hod^s(A)
.
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 \
-2 & 3 & -4 \
-1 & 5 & 1
\end{bmatrix} \space \begin{matrix}
\leftarrow r_{1} \
\leftarrow r_{2} \
\leftarrow r_{3}
\end{matrix}
$$
M = \biggl{ \begin{bmatrix}
1 \
2 \
5
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
-2 \
3 \
-4
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
-1 \
5 \
1
\end{bmatrix} \biggl}
- M generuje řádkový lineárně vektorový prostor matice A.
- M je LZ, neboť
r_3^T = r_1^T + r_2^T
, tedydim(M) < 3
. - Ale
\{r_1^T, r_2^T\}
je LN a tedy báze, protohod^R(A) = 2
.
Pro každou matici A platí, že
- řádková hodnost je rovna té sloupcové, takže
hod^r(A) = hod^s(A)
; - hodnost transponované matice je rovna hodnosti původní matice, takže
hod(A) = hod(A^T)
.
Hodností matice A nazveme hodnotu hod^r(A)
.
Regulární matice
vlastnost | výraz |
---|---|
její hodnost se rovná jejímu řádu | hod(A) = n |
má nenulový determinant | \det{A} \neq 0 |
existuje k ní inverzní matice | \text{existuje } A^{-1} |
Každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici.
Singulární matice
vlastnost | výraz |
---|---|
její hodnost je menší než její řád | hod(A) < n |
má nulový determinant | \det{A} = 0 |
neexistuje k ní inverzní matice | \text{neexistuje } A^{-1} |
Určení hodnosti pomocí determinantu
Determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále.
Determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m
se nazývá minorem řádu m
matice A.
Hodnost matice A
je rovna rozměru největšího nenulového subdeterminantu.
Nechť A je matice. Potom je hod(A) = m
právě tehdy,
- když v A existuje nenulový minor řádu
m
- a zároveň každý minor řádu většího než
m
je nulový.
Nechť A je čtvercová řádu n
. Potom hod(A) = n
, pokud se \det(A)
nerová 0.
- DK: Podle předchozí věty je
hod(A) = n \iff
v A existuje nenulový minor řádun
. - Víme, že jedinému minoru řádu
n
odpovídá celá matice A, tedyhod(A) = n \iff \det(A)
se nerovná 0.
Inverzní matice
Inverzní matice A^{-1}
nemusí pro matici A
vždy existovat. Pokud ale existuje, je jednoznačně určená.
A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}
Inverzní matice A^{-1}
k matici A
existuje pouze, pokud je matice A
regulární.
Adjungovaná matice
Adjungovaná matice je matice A^A
, která je poskládaná z algebraických doplňků, ale transponovaně.
Určení inverzní matice pomocí determinantů
Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.
\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A