7.1 KiB
Řešení příkladů
Limita se zlomkem
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2}\right) = \frac{2}{3}
- Ve jmenovateli i čitateli jsou nejvyšší mocniny
n^a
stejné (zden^3
), proto se limita bude rovnat koeficientům před nimi ve zlomku.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{3n^2 + n}{5n - 4}\right) = +\infty
- Pokud je v čitateli vyšší mocnina
n^a
než ve jmenovateli, je limita+\infty
.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n}\right) = 0
- Pokud je ve jmenovateli vyšší mocnina
n^a
než v čitateli, je limita0
.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^2}{n+3} - \frac{n^2}{n+2} \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^3+2n^2-n^3-3n^2}{(n+3)(n+2)} \right) = \dots
- Pokud jsou v limitě dva zlomky, které po dosazení vyjdou jako neurčitý výraz, je potřeba je roznásobit.
Limita s odmocninou
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\sqrt{ n+1 } - \sqrt{ n }\right) = \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}\right) = 0
- Vynásobíme
\displaystyle\frac{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}
, čímž získáme\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}
. (Využití vzorečku(a-b)(a+b) = a^2+b^2
.)
Limita s Eulerovým číslem
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+5} \right)^{n-3} = e
- Hodnota před
n
je stejná jak ve jmenovateli, tak v mocnině, limita je tedye^1
(na číslo v čitateli zlomku).
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-1}{n+9} \right)^{7n} = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-7}{7n+63} \right)^{7n} = e^{-7}
- Hodnota před
n
není ve jmenovateli a v mocnině stejná, proto musím zlomek vynásobit vhodným číslem, aby tato rovnost platila, v tomto případě číslem7
.
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{9}{n^2} \right)^{7-5n^3} = e^{\frac{n^2}{-n^3}} = 0
- Každé
n
je umocněno jiným číslem, proto výsledek zapíšu jakoe
umocněné na\displaystyle\frac{\text{jmenovatel}}{\text{mocnina}}
a tento výraz dále upravuji.
Limita funkce
Je podobná limitě posloupnosti. Jestliže jde k nějaké určité hodnotě, tak jí zkusíme dosadit a případně vhodně upravit. Existuje také limita zleva (mínus), kde dosazujeme hodnotu trochu menší než dané číslo, případně limita zprava, kde naopak dosazujeme o trochu větší hodnotu.
Derivace
K derivování funkce stačí použít vzorečky v derivacích funkce, není na tom nic příliš složitého.
Neurčitý intergrál
Při integrování musíme vždy zvolit vhodnou metodu řešení, tedy
- pokud máme ve funkci součin, použijeme metodu per partes,
- pokud máme ve funkci např. vysokou mocninu či odmocninu, použijeme substituci.
Při počítání metodou per partes se také po několika krocích můžeme dostat ke stejnému integrálu jako v zadání (zpravidla u funkcí \sin
a \cos
), jedná se poté o cyklický per partes a je potřeba postupovat následovně.
- Postupujeme podle per-partes (a zachováváme pořadí, ve kterém jsme dosazovali).
- Po několika krocích se dostaneme do stavu, kdy se ve výsledku opět objeví stejný integrál jako v zadání.
- Vytvoříme rovnici původní integrál = aktuální postup a vyjádříme původní integrál (většinou přičtením a vydělením dvěma).
Určitý integrál
Průběh funkce
V příkladech bude pracováno s funkcí f(x) = -2x^4 + 4x^2 + 6
.
Definiční obor:
Pokud máme jednu funkci (např. f(x) = \log(3x+2)
), stačí vypočítat lineární nerovnici 3x + 2 > 0
. Výsledkem bude x > -\frac{2}{3}
, takže tedy D(f) = \left( -\frac{2}{3}, \infty \right)
.
Pro více funkcí je potřeba funkce rozložit na vnější a vnitřní a poté postupně zjišťovat definiční obory.
- Pro ukázku určíme definiční obor funkce
\displaystyle f(x) = \sqrt{ \frac{x+3}{4-2x} }
, v tomto případě má odmocninaD\geq 0
. - Napíšeme si rovnici
\displaystyle \frac{x+3}{4-2x} \geq 0
a do grafu načrtneme funkce a jejich průsečíky s osou x (nulové body). - Vidíme, že celý zlomek bude kladný, jestliže v čitatel i jmenovateli vyjde stejné znaménko, takže si do grafu zapíšeme výsledná znaménka. Nesmíme zapomenout také na to, jestli nám někde nevyjde 0 ve jmenovateli.
- Z grafu poté zjistíme, že
D(f) = \langle -3; 2 )
.
funkce | definiční obor |
---|---|
\log(x) |
(0, \infty) |
\sqrt{x} |
\langle0, \infty) |
\tan(x) |
\mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}; k \in \mathbb{Z} |
\cot(x) |
\mathbb{R} - \left\{ k\pi \right\}; k \in \mathbb{Z} |
Limity v krajních bodech D(f):
Vypočítám limitu jdoucí ke krajům D(f)
, v případě D(f) = (-\infty, \infty)
:
\displaystyle \lim_{ n \to -\infty } f(x) = \dots
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } f(x) = \dots
Sudost / lichost funkce:
- sudá:
f(x) = f(-x)
- lichá:
-f(x) = f(-x)
Průsečíky s osami:
osa | dosazení | |
---|---|---|
s osou y | y = 0 + 0 + 6 |
x = 0 |
s osou x | 0 = -2x^4 + 4x^2 + 6 |
y = 0 |
První derivace - monotonie a lokální extrémy funkce:
f'(x = -8x^3 + 8x = 8x(1-x)(1+x)
Nulové body: \{0, 1, -1\}
V prvním kroce zderivuji funkci f(x)
a ze získané funkce f'(x)
mohu zjistit, kde je funkce rostoucí a klesající. Funkci je dobré si rozložit na součin, aby byly zřejmé nulové body, tedy body, kde funkce nebude růst ani klesat. Je také možné najít lokální maxima a minima.
(-\infty, -1) |
(-1, 0) |
(0, 1) |
(1, \infty) |
|
---|---|---|---|---|
8x |
- | - | + | + |
(1-x) |
+ | + | + | - |
(1+x) |
- | + | + | + |
f'(x) |
+ | - | + | - |
f(x) |
roste | klesá | roste | klesá |
Existenci lokálního minima/maxima ověříme druhou derivací.
- lokální maxima:
f(-1) = f(1) = 8
- lokální minimum:
f(0) = 6
Druhá derivace - konvexita/konkávita, inflexní body:
f''(x) = -24x^2 + 8 = 8(1-\sqrt{ 3 }x)(1+\sqrt{ 3 }x)
Ověření lokálních maxim a minim provedeme zjištěním druhé derivace v podezřelých bodech.
f''(-1) = f''(1) = -16 < 0, \quad
jedná se tedy o lokální maximaf''(0) = 8 > 0, \quad
jedná se tedy o lokální minimum
Poté najdu nulové (inflexní) body pomocí druhé derivace a určím jejich hodnotu na původní funkci:
\left\{ \frac{\sqrt{ 3 }}{3}, -\frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right\}
f\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) = f\left( -\frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) = 7 + \frac{1}{9}