5.6 KiB
5.6 KiB
Věta: Mějme \mathbb{Z}_{n}, a \in \mathbb{Z}_{n}
, pak existuje a^{-1} \in \mathbb{Z}_{n} \iff \gcd(a, n) = 1
, tj. a, n
jsou nesoudělná.
- Dk:
a^{-1} \cdot a \equiv 1
(mod n)\implies a^{-1} \cdot a \equiv 1 + \ln
a^{-1} \cdot a - l \cdot n = 1
d | a, d | n \implies d = 1 = \gcd(a, n)
1 = \gcd(a,n) = \alpha \cdot a + \beta \cdot n \implies \alpha a + \beta n = 1
\alpha a = 1 - \beta n
\alpha a \equiv 1
(mod n)
- Př:
\mathbb{Z}_{8} \dots (0, 1, \dots, 7)
2^{-1}
neex.3 \gcd(3, 8) = 1, \quad 3^{-1}
ex.- Pozorování: n prvočíslo každé nenulový prvek
a \in \mathbb{Z}_{n}
má inverzi
- Věta:
\mathbb{Z}_{n}
je těleso\iff
n prvočíslo
Lineární prostory nad \mathbb{Z}_{n}
, n prvočíslo, množina nad \mathbb{Z}_{n}
- Př: obecně v
\mathbb{Z}_{n}
neplatí krácení\mathbb{Z}_{6} \quad 2 \cdot 3 \equiv 4 \cdot 3
(mod 6)\centernot\implies 2 \equiv 4
(mod 6)
- Př:
16^{-1}
v\mathbb{Z}_{45} \quad 1 \cdot 16, 2 \cdot 16, 3 \cdot 16, \dots, 44 \cdot 16
- Eukleidův algoritmus
\gcd(45, 16)
45 = 2 \cdot 16 + 13
16 = 1 \cdot 13 + 3
13 = 4 \cdot 3 + 1
3 = 3 \cdot 1 + 0
- Rozšířený Eukleidův algoritmus
1 = \gcd(45, 16)
1 = 13 - 4 \cdot 3 = 13 - 4 \cdot (16 - 1 \cdot 13) = 5 \cdot 13 - 4 \cdot 16 =
= 5 \cdot (45 - 2 \cdot 16) - 4 \cdot 16 = 5 \cdot 45 - 14 \cdot 16
16^{-1} = 31 (= 45 - 14)
- Eukleidův algoritmus
- Pozn: konečná tělesa s počtem prvků n existují, pokud n je mocnina prvočísla
a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0}
Věta (malá Fernantova věta)
- p prvočíslo,
a \in \mathbb{N}
, pak platía^p \equiv a
(mod p), pokudp \centernot \mid a
,a^{p-1} \equiv 1
(mod p) - Dk: indukcí podle a
- předpis
a^p \equiv a
(mod p) - chci
(a+1)^p \equiv a+1
(mod p) - binomická věta
(x+y)^n = \binom{n}{n}x^n + \binom{n}{n-1}x^{n-1}y + \dots + \binom{n}{k}x^{n-k}y^k + \dots + \binom{n}{0}y^n
(a+1)^p = \binom{p}{p}a^p + \binom{p}{p-1}a^{p-1} + \dots + \binom{p}{1}a
(a+1)^p - a^p - 1 = \binom{p}{p-1} a^{p-1} + \dots + \binom{p}{k} a^{p-k} + \dots \binom{p}{1} a = 0
(mod p)(a+1)^p - a^p - 1 \equiv 0
(mod p)(a+1)^p - a - 1 \equiv 0
(mod p)\implies (a+1)^p = a+1
(mod p)
- předpis
RSA, ECC
Grupy (G, \circ)
- \circ
je binární operace na G ... \circ : G \times G \to G
(\mathbb{N}, +)
- Def:
(G, \circ)
tvoří grupu, pokud platí\circ
asociativní: \forall \, x, y, z \in G : (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)
- existence neutrálního prvku
\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x
- existence inverzního (opačného) prvku
\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e
- Př:
(\mathbb{Z}, +)
- matice
B
regulárníM_{n,n}
, součin matic grupa, neutrální prvek jeI
, inverzní prvekA^{-1}
- není
(\mathbb{N}, +)
- relace na množině
- skládání relací
- neutrální prvek ... identická relace na X
- neplatí obecně
\rho \circ \rho^{-1} = E_{x}
X = {a, b}
\rho = \{(b,a)\}
\rho^{-1} = \{(a,b)\}
E_{x} = \{(a,a),(b,b)\}
- matice
- pokud
\circ
komutativní, pak(G, \circ)
se nazývá komutativní grupa (Abelova grupa) - Př: grupa permutací
X = \{ 1, 2, \dots, n \}
permutace : bijekce X na X- množina permutací $n$-prvkové množiny
(S_{n}, \circ)
(skládání permutací)- grupa nekomutativní, neutrální prvek identické permutace
\pi \circ \pi^{-1} = id
- Př: grupa symetrií rovnostranného trojúhelníku
G = \{ id, r, s, x, y, z \}
, skládání(G, \circ)
grupa nekomutativní
Cayleyho tabulka
- latinské čtverce
Těleso a grupa
(M, +, \times)
těleso (=)(M, +)
je Abelova groupa (e neutrální prvek vzhledem k +)(M \setminus \{e\}, \times)
je Abelova groupa+, \times
splňují distr. zákon\forall \, x, y, z \in M : x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z)
Uzávěry relací
\rho
na množiněX
- reflexivní uzávěr
\rho^\times
relace\rho
\rho^\times = \rho \cup E_{x}
\rho^\times
nejmenší nadrelace\rho
, která je reflexivní
- tranzitivní uzávěr
\rho^+
relace\rho
\rho^+ = \rho \cup \rho^2 \cup \rho^3 \dots
\rho^+ = U^{\infty}_{i=0} \rho^i
- reflexivně tranzitivní
- TODO
Uspořádání
(\mathbb{R}, \leq)
- reflexivní, slabě antisymetrické, tranzitivní- Def: X množina,
\rho
relace na X,\rho
refl., sl. antisym., tranz.(X, \rho)
uspořádaná množina (poset)
- Př:
(\mathbb{Z}, \leq)
(\mathbb{N}, |)
poset (dělitelnost na\mathbb{N}
)(Z^\times, \leq)
inkluzí uspořádaná potenční množina X množin\mathbb{R}^n : (x_{1}, \dots, x_{n}) \leq (y_{1}, \dots, y_{n})
\forall \, i = 1, \dots, n : x_{i} \leq y_{i}
\leq
je refl., sl. antisym., tranz.
- Znázornění uspořádání
- dělitelnost na
X = \{ 2, 3, 4, 6, 12 \}
- Hasseův diagram
- relace bezprostředního předchůdce
(X, \leq)
poset\leq
relace uspořádání\to \dot{\leq}
x \dot{\leq} y \iff x \leq y \wedge \not\exists z \in X : x \neq z \neq y \wedge x \leq z \leq y
- Př:
(\mathbb{R}, \leq)
poset- relace bezprostředního předchůdce je
\emptyset
- relace bezprostředního předchůdce je
- Def:
(X, \leq)
poseta \in X
je minimální, pokud\not\exists \, x \in X : x \neq a, x \leq a
a \in X
je maximální, pokud\not\exists \, x \in X : x \neq a, a \leq x
a \in X
je nejmenší, pokud\not\exists \, x \in X : x \geq a
a \in X
je největší, pokud\not\exists \, x \in X : a \geq x
- Pozorování: X konečná množina, tak relace uspořádání je reflexivně-tranzitivní uzávěr relace bezprostředního předchůdce
- dělitelnost na