8.1 KiB
8.1 KiB
Booleova algebra
- distributivní a komplementární svaz
- má 0 (nejmenší prvek) a 1 (největší prvek)
- ? struktura konečných B. algeber
- atom B. algebry
B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1)
- prvek
a \in X
se nazývá atom B. algebry B, pokud \forall \, x \in X: x \wedge a = 0
nebox \wedge a = a
- prvek
- Pozorování: X konečné : atom je takový prvek, jehož bezprostřední předchůdce je 0
- jinak řečeno: výška atomu je 2
- Tvrzení:
B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0, 1)
je konečná B. algebra,x \in X
,x \neq 0
, pakx = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}
a_{i}
jsou atomy B. algebry t. ž.a_{i} \leq x
- a zároveň v
\{ a_{1}, \dots, a_{k} \}
jsou obsaženy všechny atomy\leq x
- Dk.:
a_{i}, i = 1, \dots, k
atomy\leq x
nechť\exists
atom aa \leq x
, který ve spojení chybía = a \wedge x = a \wedge (a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}) = (a \wedge a_{1}) \vee (a \wedge a_{2}) \vee \dots \vee (a \wedge a_{k})
a_{i} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k} \leq x
- pokud
a \wedge a_{1} = 0 = a \wedge a_{2} = \dots = a \wedge a_{k}
, paka = 0
\implies \exists \, i : a \wedge a_{i} \neq 0
a \wedge a_{1} = a = a_{1}
spor
- atom B. algebry
Věta (Minsky)
P = (X, P), height(P) = h
- pak
\exists
rozkladX = A_{1} \cup \dots \cup A_{h}
, kdeA_{i}
je antiřetězec i = 1, \dots, h
- navíc: neexistuje rozklad na méně než h antiřetězců
- pak
- Dk.:
x \in X
, výška prvku x:height(x)
= největší t t. ž. existuje řetězecx_{1} < \dots < x_{t-1} < x_{t} = x
A_{i} = \{ x \in X \mid height(x) = i \}
, jsou to antiřetězce:x, y \in A_{i}
x_{1} < \dots < x_{i} = x < y = x_{i+1} \implies
výška y alespoňi+1
- spor s
y \in A_{i}
- spor s
- sporem nechť
x \neq y
, předpokládámx < y
- lépe to nejde:
height(P) = h \implies \exists
řetězec na h prvkáchC = \{ x_{1}, \dots, x_{h} \}
- nechť
\exists
rozklad na méně než h antiřetězcůt < h
- Dirichletův přihrádkový princim h prvků do
t < h
přihrádek
Tvrzení
- v lib. distributivním s vazu
(X, \leq)
platí duální distributivní zákonx \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z) \quad \forall \, x, y, z \in X
- původní d. z.
a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c) \quad \forall \, a, b, c \in Y, (Y, \leq)
svaz
- Dk.:
- předpokládejme že platí
a \wedge (b \vee c) = (a \wedge c) \vee (a \wedge c)
a = x \vee y, b = x, c = z
(x \vee y) \wedge (x \vee z) = ((x \vee y) \wedge x) \vee ((x \vee y) \wedge z)
= [(x \wedge x) \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]
= [x \vee (x \wedge y)] \vee [(x \wedge z) \vee (y \wedge z)]
= x \vee (x \wedge z) \vee (y \wedge z)
= x \vee (y \wedge z)
- předpokládejme že platí
Motivace komplement
- doplněk množin
A^{\subset} = X \setminus A
A \cap A^{\subset} = \emptyset
A \cup A^{\subset} = X
\overline a = b, c
a \wedge c = 0
a \vee c = 1
Věta
- je-li svaz distributivní komplementní, pak každý prvek má právě 1 komplement
- Důsledek: distrib. svaz, pak každý prvek má nejvýše 1 komplement
- Dk.: b, předp. že existují alespoň 2 komplementy pro b
b_{1}, b_{2} \quad \overline b_{1} = b, \overline b_{2} = b, b_{1} \neq b_{2}
b_{1} \wedge b = 0, b_{2} \wedge b = 0
b_{1} \vee b = 1, b_{2} \vee b = 1
b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee b) = (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge b) = b_{1} \wedge b_{2}
b_{2} = b_{2} \wedge 1 = \dots = b_{2} \wedge b_{1}
\implies b_{2} = b_{1}
Věta (De Morganova)
- Boolova algebra
B = (B, \wedge, \vee)
- distributivní komplementární svaz s 0, 1\forall x, y \in B : \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y
\overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y
- Dk.:
(x \vee y) \wedge (\overline x \wedge \overline y) = (x \wedge \overline x \wedge \overline y) \vee (y \wedge \overline x \wedge \overline y) = 0 \vee 0 = 0
(x \vee y) \vee (\overline x \wedge \overline y) = (x \vee \overline x \vee \overline y) \wedge (y \vee \overline x \vee \overline y) = 1 \wedge 1 = 1
Věta (Booleovský kalkulus)
B = (X, \wedge, \vee, \overline{}) \quad x, y, z \in X
platíx \vee x = x \quad
idempotentnostx \vee y = y \vee x \quad
komutativita(x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee z) \quad
asociativitax \vee (x \wedge y) = x \quad
absorbce
- D)
\quad x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) \quad
distributivita - N1) 0, 1 neutrální prvky
x \vee 0 = x \qquad x \wedge 1 = x
x \vee 1 = 1 \qquad x \wedge 0 = 0
- K1)
\quad \overline 0 = 1 \qquad \overline 1 = 0
- K2)
\quad x \vee \overline x = 1 \qquad x \wedge \overline x = 0
- K3)
\quad \overline{\overline x} = x \quad
involuformost - K4)
\quad \overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y \qquad \overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y
Stoneova věta
- Př. dělitelé čísla 30, uspořádání dělitelnosti
X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}
- B. algebra
- Př. $A = { a, b, c }$M.2 and 2.5" Drive
(2^A, \leq)
- B. algebra
- izomorfizmus dvou B. algeber
B = (X, \wedge, \vee, \overline{}, 0_{B}, 1_{B}), C = (Y, n, u, ', 0_{C}, 1_{C})
je zobrazeníF : X \to Y
, které je- bijekce
- F zachovává všechny operace
F(x \wedge y) = F(x) \, n \, F(y)
F(x \vee y) = F(x) \, u \, F(y)
F(\overline x) = F(x)'
F(0_{B}) = 0_{C}, F(1_{B}) = 1_{C}
Věta (Stone)
- každá konečná Booleova algebra je izomorfní
- Booleově algebře
(2^X, \leq)
pro nějakou množinu X X = At(B) \quad
X je množina atomů B- Dk.:
- zobrazení
\Theta, b \in B
\Theta(b) = \{ x \mid x \leq b, x \text{ atom } B \}
b = 0 \quad \Theta(0) = \emptyset
\Theta
je- bijekce
- prosté (injektivní)
- na (surjektivní)
- zachování operace
- bijekce
\Theta
injektivníb_{1} \neq b_{2} \implies \Theta(b_{1}) \neq \Theta(b_{2})
b_{1} \neq b_{2} \implies b_{1} \not\leq b_{2} \text{ nebo } b_{2} \not\leq b_{1}
- nechť
b_{1} \not\leq b_{2} : b_{1} \wedge b_{2} \neq b_{1}, b_{1} = b_{1} \wedge 1 = b_{1} \wedge (b_{2} \vee \overline b_{2})
= (b_{1} \wedge b_{2}) \vee (b_{1} \wedge \overline b_{2}) \implies b_{1} \wedge \overline b_{2} \neq 0
\implies \exists \text{ atom } a \in B : a \leq b_{1}, a \not\leq b_{2}
\implies a \in \Theta(b_{1}) \wedge a \not\in \Theta(b_{2})
\Theta
surjektivní- plyne z věty o jednoznačnosti vyjádření prvku b pomocí suprema mn. atomů
\implies \Theta
je bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení)\Theta
zachovává 0, 1b(0) = \emptyset, b(1) = X
\Theta
zachovává komplement\Theta
zachovává operace\wedge, \vee
- chci
\Theta(b_{1} \wedge b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2})
(1)\Theta(b_{1} \vee b_{2}) = \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2})
(2)
- atom
x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2}
\implies x \in \Theta(b_{1}), x \in \Theta(b_{2})
\implies x \in \Theta(b_{1}) \cap \Theta(b_{2})
x \in \Theta(b_{1}) \wedge \Theta(b_{2}) \implies x \in \Theta(b_{1}) \wedge x \in \Theta(b_{2})
\implies x \leq b_{1} \wedge x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \wedge b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1} \wedge b_{2})
\subseteq \quad x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee b_{2} \implies x = x \wedge (b_{1} \vee b_{2})
= (x \wedge b_{1}) \vee (x \wedge b_{2}) \implies x \wedge b_{1} \neq 0 \text{ nebo } x \wedge b_{2} \neq 0
- pokud
x \wedge b_{1} = 0 = x \wedge b_{2}
\implies x \leq b_{2} \text{ nebo } x \leq b_{2} \implies x \in \Theta(b_{1}) \text{ nebo } x \in \Theta(b_{2})
\implies x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2})
\supseteq \quad x \in \Theta(b_{1}) \cup \Theta(b_{2}) \implies x \leq b_{1} \vee x \leq b_{2} \implies x \leq b_{1} \vee b_{2}
\implies x \in \Theta(b_{1} \vee b_{2})
- Důsl.: Každá konečná B. algebra má
2^n
prvků, kden = \#
atomů.\implies
# atomů =\log_{2}|B|
B = (B, \leq)
- Důsl.: Každé dvě B. algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní
- chci
- zobrazení