58 lines
No EOL
4.4 KiB
Markdown
58 lines
No EOL
4.4 KiB
Markdown
# Kvadratické formy
|
|
|
|
## Kvadratická forma
|
|
|
|
- matice **A** je reálná symetrická matice řádu $n$
|
|
- kvadratická forma určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$
|
|
- Nechť **A** je reálná symetrická matice. Potom
|
|
1. všechna vlastní čísla matice **A** jsou reálná;
|
|
- **DK**: Nechť $\lambda \in \mathbb{C}$ je vlastním číslem matice **A** s vl. vektorem $\vec{u}$. Tedy $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$.
|
|
- platí:
|
|
$$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$
|
|
$$\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})$$
|
|
$$\implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}$$
|
|
1. ke každému vlastnímu číslu existuje **reálný vlastní vektor**;
|
|
- **DK**: $A- \lambda I$ je reální singulární $\implies \exists$ nenulové reálné řešení
|
|
2. vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům **jsou ortogonální**.
|
|
- **DK**: Nechť $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ jsou různá vl. čísla s vl. vektory $\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$.
|
|
- platí:
|
|
$$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$
|
|
$$\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})$$
|
|
$$\text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}$$
|
|
- Reálná symetrická matice **A** řádu $n$ má $n$ ortogonálních reálných vlastních vektorů.
|
|
|
|
### Zákon setrvačnosti kvadratických forem
|
|
|
|
- Je-li kvadratická forma na $\mathbb{R}^n$ vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je **stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů**.
|
|
- $2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$
|
|
|
|
### Inercie kvadratické formy
|
|
|
|
- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme
|
|
- $k$ - počet kladných čísel **A** (vč. násobností);
|
|
- $z$ - počet záporných čísel **A**;
|
|
- $d$ - počet nulových čísel **A**.
|
|
- Trojici čísel ($k$, $z$, $d$) nazýváme **inercií kvadratické formy**.
|
|
- značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$
|
|
|
|
#### Druhy inercií
|
|
|
|
Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec{x})$ na $\mathbb{R}^n$ je
|
|
|
|
| typ | jestliže |
|
|
| --------------------------- | -------------------------------------- |
|
|
| **pozitivně definitní** | $in(\kappa) = (k, 0, 0)$ |
|
|
| **negativně definitní** | $in(\kappa) = (0, z, 0)$ |
|
|
| **pozitivně semidefinitní** | $in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0$ |
|
|
| **negativně semidefinitní** | $in(\kappa) = (0, z, d), d > 0$ |
|
|
| **indefinitní** | $in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0$ |
|
|
|
|
### Hlavní minory
|
|
|
|
- Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$.
|
|
|
|
### Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium)
|
|
|
|
- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$.
|
|
- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
|
- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **negativně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ sudé a $\Delta _{i} < 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$ liché. |