3 KiB
3 KiB
Derivace funkce
- rychlost růstu či klesání funkce
- pokud je derivace funkce v bodě
x_0
< 0
, je funkce v bodě klesající> 0
, je funkce v bodě rostoucí= 0
, je funkce v bodě konstatní
Základní vzorce
operace | vzorec |
---|---|
sčítání | (f+g)' = f' + g' |
násobení konstantou | (c \cdot f)' = c \cdot f' |
násobení | (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' |
dělení | \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} |
složená funkce | (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x) |
Derivační vzorce
funkce | derivace |
---|---|
x^a |
ax^{a-1} |
e^x |
e^x |
a^x |
a^x \ln a |
\ln x |
\frac{1}{x} |
\log_{a} x |
\frac{1}{x \ln a} |
\sin x |
\cos x |
\cos x |
-\sin x |
\text{tg } x |
\frac{1}{\cos^2 x} |
\text{cotg } x |
-\frac{1}{\sin^2 x} |
\arcsin x |
\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} |
\arccos x |
-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }} |
\text{arctg } x |
\frac{1}{1+x^2} |
\text{arccotg } x |
-\frac{1}{1+x^2} |
\sinh x |
\cosh x |
\cosh x |
\sinh x |
\text{tgh } x |
\frac{1}{\cosh^2 x} |
\text{cotgh } x |
\frac{1}{\sinh^2 x} |
Tečna a normála
- zjištění tečny a normály v bodě funkce (
x_{0}
)- najdeme tečný bod
T[x_{0}, y_{0}]
y_{0} = f(x_{0})
- zderivujeme
f(x)
a dosadíme do derivacex_{0}
f'(x)
f'(x_{0})
- zjistíme tečnu
t: y-y_{0} = f'(x_{0}) \cdot (x-x_{0})
- zjistíme normálu
n: y-y_{0} = \frac{-1}{f'(x_{0})} \cdot (x-x_{0})
- najdeme tečný bod
Extrémy funkce
-
- maximum
- minimum
-
- lokální
- globální
-
- ostré
- neostré
Nutná podmínka existence extrému
f'(x_{0}) = 0
, pokud jsou splněny obě podmínky:
- funkce f má v
x_{0}
lokální extrém - existuje
f'(x_{0})
Postačující podmínka existence extrému
- v
x_0
se nachází lokální minimum, pokudf'(x_0) = 0
af''(x_{0}) > 0
- v
x_{0}
se nachází lokální maximum, pokudf'(x_0) = 0
af''(x_{0}) < 0
L'Hospitalovo pravidlo
- Pokud platí rovnosti
f(x_0) = g(x_0) = 0
a existuje limita s derivacemi (druhá níže), pak platí vztah: \displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}