7.5 KiB
Zobrazení - Předpis f : X \to Y
, kdy prvkům z X přiřazujeme prvky z Y (např. reálná funkce).
Komplexní čísla - Číslo z = a+bi
, kde a, b \in \mathbb{R};
a \text{Re}(z) = a, \text{Im}(z) = b;
hodnota i = \sqrt{-1}
.
Polynomy
Polynom - Polynomem proměnné x
je předpis (funkce) p(x) = a_{n}x^n + \dots + a_{1}x + a_{0}
.
Koeficienty polynomu $p(x)$ - Hodnoty a_{i}
v předpisu polynomu.
Stupeň polynomu $p(x)$ - Největší k
, pro něž je a_{k}
nenulové, značíme \text{st}(p(x))
.
Nulový polynom - Polynom p(x)
, který má všechny koeficient nulové, poté platí \text{st}(p(x)) = -\infty
.
Operace s polynomy ??
Kořen polynomu - Číslo c \in \mathbb C
, pro které platí p(c) = 0
.
Speciální typy polynomů ??
Matice
Matice typu $m/n$ - Soubor (tabulka) m \times n
prvků (čísel) a_{ij}
zapsanných do m
řádků a n
sloupců, obvykle a_{ij} \in \mathbb C
.
Správně bychom měli definovat: Matice A typu m/n
je zobrazení \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to \mathbb C
(nebo speciálně \mathbb R
).
Názvosloví:
(i, j)
- pozice v maticia_{ij}
- prvek na pozici(i, j)
i
- řádkový indexj
- sloupcový indexa_{kk}
- diagonální prvek maticem/n
- typ matice:m
řádků,n
sloupců
Tvary
- Čtvercová matice - matice typu
m/n
, kdem=n
- Obdélníková matice - matice typu
m/n
, kdem \neq n
- $m$-složkový sloupcový vektor - matice typu
m/1
- $n$-složkový řádkový vektor - matice typu
1/n
Nulová matice - Matice typu m/n
, jestliže a_{ij} = 0
, značíme ji 0.
Diagonální matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = 0
jestliže i \neq j
, zapisujeme A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, a_{nn})
.
Jednotková matice - Diagonální matice, pro kterou platí a_{ii} = 1
, značí se I
.
Symetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = a_{ji}
.
Antisymetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = -a_{ji}
(a a_{ii} = 0
).
Horní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0
pro všechna i > j
.
Dolní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0
pro všechna i < j
.
Rovnost - Matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu a platí a_{ij} = b_{ij}
pro všechna i, j
, píšeme A = B.
Opačná matice - Matice [-a_{ij}]
k matici A, značíme -A.
Transponovaná matice - Matice [a_{ji}]
typu n/m
k matici A = [a_{ij}]
typu m/n
.
Mocniny matice - Nultá mocina A^0 = I
, $k$-tá mocnina A^k = A \cdot A \cdot \dots \cdot A
.
Inverzní matice - Matice A^{-1}
je inverzní matice ke čtvercové matici A, pro kterou platí, že A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I
.
Rozšířená matice soustavy - Matice A^R = [A | b]
, kde matice A
obsahuje vektory neznámých a b
je vektor pravých stran.
Pivot v řádku $i$ - První nenulový prvek v tomto řádku (bráno zleva).
Matice ve stupňovitém tvaru - Matice A, kde pro každý řádek platí: Je-li v $i$-tém řádku pivod na pozici j
, ve všech dalších řádcích je na pozici j' > j
a je-li řádek nulový, každý další je také nulový.
Lineární vektorové prostory
Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$ - Neprázdná množina \mathcal{V}
, kde pro každé \vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}
a pro každé k, l \in \mathbb T
- existuje právě jeden prvek
\vec u \in \mathcal{V}
tak, že\vec u = \vec x + \vec y
, \exists!\space \vec u \in \mathcal{V}
tak, že\vec u = k \vec x
,(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)
,- existuje prvek
\vec o \in \mathcal{V}
takový, že\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x
, (k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x
,(kl)\vec x = k(l\vec x)
,1\vec x = \vec x
,k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y
.
Lineární kombinace - Prvek \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}
, kde \vec v_{i}
jsou prvky LVP \mathcal{V}
a \lambda_{i}
jsou koeficienty.
Lineární (ne)závislost - Prvky \vec v_{i}
nazveme LN pouze tehdy, pokud \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k} = \vec o
jedině když \lambda_{i} = 0
, v opačném případě se prvky nazývají LZ.
Podprostor - Nechť \mathcal{V}
je LVP a \mathcal{V}' \subset \mathcal{V}
. Prostor \mathcal{V}'
je podprostorem LVP \mathcal{V}
, jestliže
- pro každé
\vec x_{1}, \vec x_{2} \in \mathcal{V}'
je\vec x_{1} + \vec x_{2} \in \mathcal{V}'
, - pro každé
\vec x \in \mathcal{V}'
a pro každé\lambda \in \mathbb R
je\lambda\vec x \in \mathcal{V}'
.
Lineární obal množiny - Nechť M = \{ \vec v_{1}, \vec v_{2}, \dots, \vec v_{k} \} \subseteq \mathcal{V}
. Množinu \langle M \rangle
všech lineárních kombinací prvků \vec v_{i}
nazveme lineárním obalem množiny M
.
Generující množina LVP - Množina M
, která generuje LVP \mathcal{V}
, jestliže \langle M \rangle = \mathcal{V}
.
Konečně generovaný prostor - Prostor, ve kterém existuje konežná množina generující \mathcal{V}
.
Báze prostoru $\mathcal{V}$ - Lineárně nezávislá množina, která generuje \mathcal{V}
.
Dimenze $\mathcal{V}$ - Počet prvků báze LVP \mathcal{V}
, značí se \dim(\mathcal{V})
.
Souřadnice prvku - Nechť \mathcal{V}
je nenulový konečně generovaný LVP, \vec v \in \mathcal{V}
a nechť B = {\vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k}}
je jeho uspořádaná báze. Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}
LK v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}
prvku \vec v
bází B
, značí se \widehat{\vec v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T
.
Determinant matice
Permutace - Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.
Transpozice - Permutace \pi
, pro kterou existují i, j
takové, že \pi(i) = j, \pi(j) = i
a \pi(k) = k
pro všechna k \neq i, j
.
Znaménko permutace $\pi$ - Číslo 1, je-li permutace sudá a -1, je-li permutace lichá (skládá se ze sudého/lichého počtu transpozice).
Determinant - Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}]
řádu n
nazveme číslo \displaystyle\det A = \sum_{\pi} zn(\pi) a_{1\pi(1)} a_{2\pi(2)} \dots a_{n\pi(n)}
, kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{ 1, 2, \dots, n \}
.
Algebraický doplněk prvku $a_{ij}$ - Číslo A_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]
, kde matice A je čtvercová.
Hodnost matice
Řádkový (sloupcový) prostor - Nechť A je typu m/n
. Lineární obal všech řádkových (sloupcových) vektorů (řádků/sloupců) matice A nazveme řádkovým (sloupcovým) prostorem matice A.
Řádková (sloupcová) hodnost matice - Dimenze řádkového (sloupcového) prostoru matice A nazveme řádkovou (sloupcovou) hodností matice A, značíme \text{hod}^r(A)
, resp. \text{hod}^s(A)
.
Hodnost matice - Hodností matice A nazveme \text{hod}^r(A)
Minor řádu $m$ - Determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m
.
Regulární (singulární) matice - Čtvercovou matici A řádu n
nazveme regulární, je-li \text{hod}(A) = n
, jinak ji nazveme singulární (tj. \text{hod}(A) < n
).
Adjungovaná matice k matici A - Matice poskládaná transponovaně z algebraických doplňků, značí se A^A
.