1.8 KiB
1.8 KiB
Vlastní čísla
A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}
\vec{u} \in U \smallsetminus \{o\}
(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = o
Vlastní čísla
- Vypočítáme determinant matice
\det{(\lambda I - A)}
-> výsledkem je charakteristický polynom - V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např.
(\lambda-5)
- Výsledek zapíšeme ve tvaru
(\lambda-5)(\lambda+2)^2
a získáme kořeny polynomu - vlastní čísla(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)
Spektrum matice
- soubor všech vlastních čísel
- značí se
Sp(A)
Vlastní vektory
- Dosadíme vlastní číslo za lambdu
- Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
- Pomocí
n-hod(\lambda I-A)
zjistíme počet dosazovaných LN vektorů - Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
- Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
např.:
h_{1} = [2, -1, 1]^T
Pokud nám chybí některé h_{i}
(máme vícenásobné vl. číslo ale n-hod(\lambda I-A)
vyjde menší), je možné h_3
dopočítat opakováním postupu pro (\lambda I-A)\times x = -h_{2}
.
Vlastním vektorem h_{1} = [2, -1, 1]
se myslí t\cdot [2, -1, 1], t\in R
Regulární matice T
Matice A a B jsou podobné, jestli existuje matice T
taková, aby platilo A = T^{-1}BT
.
- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A
- platí tedy
TA = BT
iTAT^{-1} = B
Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
Jordanův kanonický tvar
- Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
- Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku
Lineární operátor
- lineární zobrazení
\mathbb{L} : U \to U