4.5 KiB
Neurčité integrály
Primitivní funkce
Mějme funkce f
a F
, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b)
, kde -\infty \leq a < b \leq +\infty
. Řekněme, že funkce F
je primitivní funkcí k funkci f
na intervalu (a;b)
, pokud
\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).
Nechť F
je primitivní funkce k funkci f
na intervalu (a; b)
. Potom platí:
F
je spojitá na(a; b)
.- Každá funkce ve tvaru
y = F (x) + C
, kdeC \in \mathbb{R}
, je primitivní funkcí k funkcif
na(a; b)
. - Každá primitivní funkce k funkci
f
na(a; b)
je ve tvaruy = F (x) + C
, kdeC \in R
.
Neurčitý integrál
Mějme funkce f
a F
, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b)
, kde -\infty \leq a < b \leq +\infty
. Existuje-li primitivní funkce F
k funkci f
na (a;b)
, potom říkáme, že funkce f
je integrovatelná na intervalu (a;b)
a neurčitým integrálem funkce f
na intervalu (a;b)
rozumíme množinu všech primitivních funkcí k funkci f
na (a;b)
:
$$
\int f(x) , dx = {F(x) + C : C \in \mathbb{R}} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})
Je-li funkce f
spojitá na intervalu (a; b)
, potom je na tomto intervalu integrovatelná.
Linearita neurčitého integrálu
Mějme funkce f, g
, které jsou integrovatelné na intervalu (a;b)
. Potom na intervalu (a;b)
platí
\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx
,\displaystyle\int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx, \quad c\in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}
.
Per-partes
Mějme funkce u, v
, které mají konečné derivace ve všech bodech intervalu (a;b)
. Potom na intervalu (a;b)
platí
\displaystyle\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \, dx
,
pokud integrál na pravé straně existuje.
Cyklické integrály
Některé integrály se mohou cyklit (typicky ty obsahující goniometrické funkce nebo e^x
).
Postup:
- Postupujeme podle per-partes (a zachováváme pořadí, ve kterém jsme dosazovali).
- Po několika krocích se dostaneme do stavu, kdy se ve výsledku opět objeví stejný integrál jako v zadání.
- Vytvoříme rovnici původní integrál = aktuální postup a vyjádříme původní integrál (většinou přičtením a vydělením dvěma).
1. substituční metoda
Mějme funkci f
, která je spojitá na intervalu (c;d)
. Dále mějme funkci g: y = g(x)
, která má konečnou derivaci ve všech bodech intervalu (a;b)
a H(g) \subset (c;d)
. Potom na intervalu (a;b)
platí
$$
\displaystyle\int f(g(x))g'(x) , dx = \int f(y) , dy
dosadíme-li napravo x = g(y)
.
2. substituční metoda
Mějme funkci f
, která je spojitá na intervalu (c;d)
. Dále mějme funkci g: y = g(x)
s definičním oborem D(g) = (a;b)
a oborem hodnot H(g) = (c;d)
, která má konečnou a nenulovou derivaci ve všech bodech x \in D(g)
. Potom na intervalu (c;d)
platí
$$
\displaystyle\int f(y) , dy = \int f(g(x))g'(x) , dx
dosadíme-li napravo x = g^{-1}(y)
.
Integrační vzorce
funkce | integrace |
---|---|
0 |
C |
1 |
x + C |
x^n |
\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C |
\displaystyle\frac{dx}{x} |
\ln \vert x\vert + C |
e^x |
e^x + C |
a^x |
\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)} + C |
\sin(x) |
-\cos(x) + C |
\cos(x) |
\sin(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{\cos^2x} |
\tan(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{\sin^2x} |
-\cot(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{1+x^2} |
\arctan(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }} |
\arcsin(x) + C |
vzorečky na typ s goniometrickými funkcemi (sin, cos)
\int sin(x) * sin(y) \ dx = \frac{1}{2} \int(cos(y-x)-cos(x+y)) \ dx
\int sin(x) * cos(y) \ dx = \frac{1}{2} \int (sin(x+y)-sin(y-x)) \ dx
\int cos(x) * cos(y) \ dx = \frac{1}{2} \int (cos(x+y)+cos(y-x)) \ dx