1.9 KiB
1.9 KiB
Zadání
Raketa o hmotnosti 100 kg nese pohonné látky o hmotnosti 1300 kg. Plyny tryskají z rakety (relativní) rychlostí 3 km/s. Určete: možné zvýšení rychlosti rakety v kosmickém prostoru.
m_{R} = 100 \, \text{kg}
m_{P} = 1300 \, \text{kg}
u = 3 \, \text{km/s}
\Delta v = \, ?
- na systém nepůsobí vnější vlivy
- kosmický prostor
\to
izolovaný systém\to
zákon zachování hybnosti\vec p = \text{konst.}
hybnost systému ve dvou různých okamžicích musí být stejná
p(t) = p(t + dt)
- palivo
\mu
se přemění na plyny, ty uniknou z rakety - v čase
t
platíp(t) = m(t) \cdot v(t)
- v čase
t + dt
platíp(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu [v(t)-u]
- palivo
dostaneme tedy
m(t) \cdot u(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu[v(t)-u]
dále platí
m(t+dt) = m(d) + dm
v(t+dt) = v(t) + dv
\mu = -dm
- dosazíme do přechozí rovnice
Výpočet
upravíme vzorec
m(t) \cdot v(t) = [m(t)+dm] \cdot [v(t)+dv] -dm[v(t)-u]
\cancel{m(t) \cdot v(t)} = \cancel{m(t) \cdot v(t)} + m(t) \cdot dv + \cancel{dm \cdot v(t)} + dm \cdot dv - \cancel{dm \cdot v(t)} + u \cdot dm
dm \cdot dv
zanedbáme, velmi malé číslo
upravíme získanou rovnici
0 = m(t) \cdot dv + u \cdot dm
udm = m(t) \cdot dv
\displaystyle \frac{dm}{m(t)} = -\frac{dv}{u}
provedeme integraci
\displaystyle \int^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} \frac{dm}{m(t)} = -\frac{1}{u} \int^{v}_{v_{0}} dv
[\ln(m)]^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} = -\frac{1}{u}[v]^{v}_{v_{0}}
\ln(m_{R}) - \ln(m_{R}+m_{P}) = -\frac{1}{u}(v-v_{0})
v-v_{0}=\Delta v
u \cdot \ln\left[ \frac{m_{R}+m_{P}}{m_{R}} \right] = \Delta v
Ciolkovského rovnice
\Delta v = u \cdot \ln\left[ 1 + \frac{m_{P}}{m_{R}} \right]
Výsledek
\Delta v = 3 \cdot \ln\left( 1 + \frac{1300}{100} \right) \, \text{km/s} = 7.92 \, \text{km/s}