2.4 KiB
Neurčité integrály
Primitivní funkce
Mějme funkce f
a F
, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b)
, kde -\infty \leq a < b \leq +\infty
. Řekněme, že funkce F
je primitivní funkcí k funkci f
na intervalu (a;b)
, pokud
\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).
Nechť F
je primitivní funkce k funkci f
na intervalu (a; b)
. Potom platí:
F
je spojitá na(a; b)
.- Každá funkce ve tvaru
y = F (x) + C
, kdeC \in \mathbb{R}
, je primitivní funkcí k funkcif
na(a; b)
. - Každá primitivní funkce k funkci
f
na(a; b)
je ve tvaruy = F (x) + C
, kdeC \in R
.
Neurčitý integrál
Mějme funkce f
a F
, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b)
, kde -\infty \leq a < b \leq +\infty
. Existuje-li primitivní funkce F
k funkci f
na (a;b)
, potom říkáme, že funkce f
je integrovatelná na intervalu (a;b)
a neurčitým integrálem funkce f
na intervalu (a;b)
rozumíme množinu všech primitivních funkcí k funkci f
na (a;b)
:
$$
\int f(x) , dx = {F(x) + C : C \in \mathbb{R}} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})
Je-li funkce f
spojitá na intervalu (a; b)
, potom je na tomto intervalu integrovatelná.
Integrační vzorce
funkce | integrace |
---|---|
0 |
C |
1 |
x + C |
x^n |
\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} |
\frac{dx}{x} |
\ln \vert x\vert + C |
e^x |
e^x + C |
a^x |
\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)} + C |
\sin(x) |
-\cos(x) + C |
\cos(x) |
\sin(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{\cos^2x} |
\tan(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{\sin^2x} |
-\cot(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{1+x^2} |
\arctan(x) + C |
\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }} |
\arcsin(x) + C |