4 KiB
Lineární vektorové prostory
Příklady:
zápis | typ |
---|---|
R^2, R^3 |
geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
R^n |
n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
M_{m,n} |
všechny matice typu m/n (nad R , nad C ) |
P_n |
všechny polynomy stupně nejvýše n |
C(a,b) |
všechny funkce spojité na <a, b> |
Vektorový prostor V nad tělesem K:
- sčítání:
V + V \to V
- násobení:
K \times V \to V
typ | pro všechna | platí |
---|---|---|
S | \forall \vec{u}, \vec{v} \in V |
\vec{u} + \vec{v} = \vec{w} |
S | \forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V |
\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} |
S | \exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V |
\vec{u} + \vec{o} = \vec{u} |
S | \forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V |
\vec{u} + \vec{v} = \vec{o} |
N | \forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K |
a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u} |
N | \forall \vec{u} \in V |
1 \times \vec{u} = \vec{u} |
D | \forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K |
(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u} |
D | \forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K |
a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v} |
Podprostor
Máme lineární vektorový prostor V
a jeho podprostor U \subset V
, jestliže
- pro každé
\vec{u}, \vec{v} \in U
je\vec{u} + \vec{v} \in U
- pro každé
\vec{u} \in U
a pro každéa \in K
jea \cdot \vec{u} \in U
- vyplývá, že v podprostoru
U
bude vždy i nulový vektor (a = 0
)
- vyplývá, že v podprostoru
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
Generující množina
Množina M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V
generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy \langle M \rangle = V
.
Báze
Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
- zápis:
\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}
Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM -> tím zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).
Dimenze V
Počet prvků báze V se nazývá dimenze V a značí se dim(V)
.
Souřadnice v bázi
Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}
LK v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}
se nazývají souřadnice prvku v v bází B.
- značí se
\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T
Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:
B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]
B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]
Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}
\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}
Lineární obal
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}
Operace s podprostory
- Sjednocení
u_{1} \cup u_{2}
- Musí platit:
u_{1} \subseteq u_{2}
u_{2} \subseteq u_{1}
- Musí platit: