Řešení příkladů

Limita se zlomkem

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2}\right) = \frac{2}{3}

Ve jmenovateli i čitateli jsou nejvyšší mocniny n^a stejné (zde n^3), proto se limita bude rovnat koeficientům před nimi ve zlomku.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{3n^2 + n}{5n - 4}\right) = +\infty

Pokud je v čitateli vyšší mocnina n^a než ve jmenovateli, je limita +\infty.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n}\right) = 0

Pokud je ve jmenovateli vyšší mocnina n^a než v čitateli, je limita 0.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^2}{n+3} - \frac{n^2}{n+2} \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^3+2n^2-n^3-3n^2}{(n+3)(n+2)} \right) = \dots

Pokud jsou v limitě dva zlomky, které po dosazení vyjdou jako neurčitý výraz, je potřeba je roznásobit.

Limita s odmocninou

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\sqrt{ n+1 } - \sqrt{ n }\right) = \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}\right) = 0

Vynásobíme \displaystyle\frac{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}, čímž získáme \frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}. (Využití vzorečku (a-b)(a+b) = a^2+b^2.)

Limita s Eulerovým číslem

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+5} \right)^{n-3} = e

Hodnota před n je stejná jak ve jmenovateli, tak v mocnině, limita je tedy e^1 (na číslo v čitateli zlomku).

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-1}{n+9} \right)^{7n} = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-7}{7n+63} \right)^{7n} = e^{-7}

Hodnota před n není ve jmenovateli a v mocnině stejná, proto musím zlomek vynásobit vhodným číslem, aby tato rovnost platila, v tomto případě číslem 7.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{9}{n^2} \right)^{7-5n^3} = e^{\frac{n^2}{-n^3}} = 0

Každé n je umocněno jiným číslem, proto výsledek zapíšu jako e umocněné na \displaystyle\frac{\text{jmenovatel}}{\text{mocnina}} a tento výraz dále upravuji.

Limita funkce

Derivace

Neurčitý intergrál

Určitý integrál

Průběh funkce

Definiční obor:

Pokud máme jednu funkci (např. \log(3x+2)), stačí vypočítat lineární nerovnici 3x + 2 > 0. Výsledkem bude x > -\frac{2}{3}, takže tedy D(f) = \left( -\frac{2}{3}, \infty \right).

Pro více funkcí je potřeba funkce rozložit na vnější a vnitřní a poté postupně zjišťovat definiční obory.

funkce	definiční obor
`\log(x)`	`(0, \infty)`
`\sqrt{x}`	`\langle0, \infty)`
`\tan(x)`	`\mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}; k \in \mathbb{Z}`
`\cot(x)`	`\mathbb{R} - \left\{ k\pi \right\}; k \in \mathbb{Z}`

Limity v krajních bodech D(f):

Vypočítám limitu jdoucí ke krajům D(f), v případě D(f) = (-\infty, \infty):

\displaystyle \lim_{ n \to -\infty } f(x) = \dots
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } f(x) = \dots

Sudost / lichost funkce:

sudá: f(x) = f(-x)
lichá: -f(x) = f(-x)

Průsečíky s osami:

f(x) = y = -2x^4 + 4x^2 + 6

osa	dosazení
s osou y	`y = 0 + 0 + 6`	`x = 0`
s osou x	`0 = -2x^4 + 4x^2 + 6`	`y = 0`

3.6 KiB Raw Blame History