4.2 KiB
Inerciální a neinerciální soustavy
Jako první je nutné si představit dvě navzájem nezávislé soustavy S
a S'
, ve kterých pozorujeme tentýž hmotný bod m
.
- osy zůstávají rovnoběžné
- pohybují se vůči sobě
- z obrázku musí být proto vidět následující vztah pro průvodiče
\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}
- pokud rovnici zderivujeme podle času, dostaneme podobný vztah pro rychlosti
\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{dt}
\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}
... rychlost bodu v $S'$\vec{v}' = \frac{d\vec{r}'}{dt}
... rychlost bodu v $S$\vec{u} = \frac{d\vec{R}}{dt}
... unášivá rychlost
- název unášivá proto, že bod je v
S'
v klidu, ale oprotiS
se pohybuje, je tedy unášen rychlostíS'
- pokud tedy ještě zderivujeme vztah pro rychlosti, dostaneme zrychlení
\vec{a_{u}} = \frac{d\vec{u}}{dt}
\vec{a} = \vec{a}' + \vec{a_{u}}
Rovnoměrný přímočarý pohyb
Při tomto pohybu se soustavy vůči sobě pohybují rovnoměrně, tedy rychlost mezi nimi (unášivá rychlost) je konstantní.
\vec{u} = \text{konst.}
Podle 1. NZ (zákon setrvačnosti) platí, že pokud se těleso pohybuje rovnoměrně přímočaře, jeho rychlost je konstantní.
- z toho vyplývá, že platí
\vec{v}' = \vec{v}-\vec{u} = \text{konst.}
- protože se rychlost nemění, unášivé zrychlení
\vec{a_{u}}
je nulové
- protože se rychlost nemění, unášivé zrychlení
- v druhé soustavě (
S'
) se těleso tedy také pohybuje rovnoměrně přímočaře - inerciální soustavy - platí v nich zákon setrvačnosti
Pro převod souřadnic z jedné soustavy do druhé nám zde poslouží tzv. Galileovy transformace
- vyjádříme vektorovou rovnici z
\vec{r}' = \vec{r} - \vec{R}
x' = x - R_{x}
y' = y - R_{y}
z' = z - R_{z}
- konstantní rychlost jako souřadnice
\vec{u}
\vec{u} = (u_{x}, u_{y}, u_{z})
- vyjádření dráhy:
s = v\cdot t
- dosadíme za všechna
R_{x,y,z} \implies
vzniknou GTx' = x - u_{x}\cdot t
y' = y - u_{y}\cdot t
z' = z - u_{z}\cdot t
\vec{r}' = \vec{r} - \vec{u}\cdot t
t = t'
V každé inerciální soustavě platí i 2. NZ (zákon síly) a pohybové rovnice jsou invariantní vůči Galileově transformaci.
Nerovnoměrně křivočarý pohyb
Unášivá rychlost mezi soustavami je v tomto pohybu proměnlivá a může měnit velikost, orientaci i směr a proto není konstantní.
\vec{u} \neq \text{konst.}
- unášivé zrychlení
\vec{a_{u}}
už není nulové, protože se pohybujeme nerovnoměrně\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}
- proto bude rozdíl ve zrychlení v první a druhé soustavě
\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a_{u}}
Neplatí 1. NZ (zákon setrvačnosti), jedná se tedy o neinerciální soustavu.
Pohybová rovnice podle 2. NZ
m\cdot \vec{a}' = m(\vec{a}-\vec{a_{u}}) = m\cdot \vec{a} - m\cdot \vec{a_{u}} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'
- není již invariantní
- objevuje se zde setrvačná síla
- nutí těleso setrvávat v původním pohybu
F^* = -m \cdot \vec{a_{u}}
Zrychlení je možné rozdělit na dvě složky, normálovou a tečnou:
\vec{a_{u}} = \vec{a_{t}} + \vec{a_{n}}
Vzorec pro celkovou setrvačnou sílu můžeme rozdělit:
\vec{F}^* = -m(\vec{a_{t}} + \vec{a_{n}}) = -m\vec{a_{t}} - m\vec{a_{n}} = \vec{F_{n}^*} + \vec{F_{t}^*}
- dostáváme tak odstředivou sílu
\vec{F}^*_{n}
a Eulerovu (tečnou) sílu\vec{F}^*_{t}
Rotační pohyb
Pro vyjádření pohybové rovnice rotačního pohybu musíme kromě skutečné síly \vec{F}
, která působí v původní inerciální soustavě, také započítat tři další síly.
Při rotaci tělesa se k odstředivé a Eulerově síle přidá třetí tzv. Coriolisova síla \vec{F}^*_{c}
.
\vec{F}_{c}^* = - 2m\cdot \vec{\omega} \cdot \vec{v}'
- objevuje se pouze v případě vlastního pohybu hmotného bodu v neinerciální soustavě takovou rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace
Celková síla při rotaci potom bude
\vec{F} + \vec{F}^* + \vec{F}_{t}^* + \vec{F}^*_{n} = \vec{F}'