3.9 KiB
Vlastní čísla
A
- matice A\vec{u}
- vlastní vektor matice A\lambda
- vlastní číslo matice A
A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}
\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}
(u nulového vektoru by to platilo vždy)- úpravou získáme
(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}
Vlastní čísla
Získání:
- Vypočítáme determinant matice
\det{(\lambda I - A)}
-> výsledkem je charakteristický polynom - V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např.
(\lambda-5)
- Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru
(\lambda-5)(\lambda+2)^2
(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)
Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory jsou sice stejné, ale v jiné bázi.
Spektrum matice
- soubor všech vlastních čísel
- značí se
Sp(A)
- např.:
Sp(A) = \{3^2; -1\}
- např.:
Vlastní vektory
- bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí
A - \lambda I
pro konkrétní vlastní číslo
Získání:
- Dosadíme vlastní číslo za lambdu
- Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
- Pomocí
n-hod(\lambda I-A)
zjistíme počet dosazovaných LN vektorů - Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
- běžně např
(x, 1, 0)
a(x, 0, 1)
- běžně např
- Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
např.:
h_{1} = [2, -1, 1]^T
Pokud nám chybí některé h_{i}
(máme vícenásobné vl. číslo ale n-hod(\lambda I-A)
vyjde menší), je možné h_3
dopočítat opakováním postupu pro (\lambda I-A)\times x = -h_{2}
.
Vlastním vektorem h_{1} = [2, -1, 1]
se myslí t\cdot [2, -1, 1], t\in R
Podobnost matic
Matice A
a B
jsou podobné, jestli existuje matice T
taková, aby platilo A = T^{-1}BT
.
- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i:
TA = BT
TAT^{-1} = B
- každá matice je podobná sama sobě (
T
by byla jednotková maticeI
)
Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
Diagonalizace
Matice NxN je diagonalizovatelná právě když
- má N lineárně nezávislých vlastních vektorů
- má různá vlastní čísla
- je symetrická nebo jednotková
K diagonalizaci matice A stačí najít množinu n lineárně nezávislých vlastních vektorů, tedy vlastní čísla mohou být i vícenásobná. Pro k-násobné vl. číslo musí platit, že dim(Ker(\mathbb{L})) = k
.
Na diagonále diagonální matice jsou vlastní čísla ve stejném pořadí, jako vlastní vektory v matici T.
Zjištění matice T výše u zjištění vlastních vektorů
-
výsledné vektory poté vložím do matice T:
-
příklad:
matice
A = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\-4 & 7 & -4\\-8 & 8 & -5\end{bmatrix}
vlastní čísla:
\lambda_{1,2} = 3, \lambda_{3} = -1
vlastní vektory:
\vec{u_{1}} = [1, 1, 0]^T,\space\vec{u_{2}} = [-1, 0, 1]^T,\space\vec{u_{3}} = [0, 1, 2]^T
matice
D = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix} = T^{-1}AT \quad \text{(vl. čísla zapisujeme na diagonálu)}
matice
T = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 2\end{bmatrix} \quad \text{(vl. vektory zapisujeme do sloupců)}
Nediagonalizovatelné matice
Taková matice je potom podobná tzv. blokově diagonální matici, nazývané Jordanův diagonální tvar. Skládá se z jednotlivých bloků, které se nazývají Jordanovy bloky.
Jordanův blok vypadá takto: \begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}
- na diagonále má vlastní čísla, nad ní čísla 1
- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu
Jordanův kanonický tvar
- Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
- Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu v tomto Jordanově bloku
Lineární operátor
- lineární zobrazení
\mathbb{L} : U \to U