4.5 KiB
4.5 KiB
Kvadratické formy
Kvadratická forma
- matice A je reálná symetrická matice řádu
n
- kvadratická forma určená maticí A je zobrazení
\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
- Nechť A je reálná symetrická matice. Potom
- všechna vlastní čísla matice A jsou reálná;
- DK: Nechť
\lambda \in \mathbb{C}
je vlastním číslem matice A s vl. vektorem\vec{u}
. TedyA \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}
. - platí:
\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot (A \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot (\overline{A} \cdot \overline{\vec{u}}) = \vec{u}^T \cdot \overline{\lambda} \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \overline{\lambda} \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})
\vec{u}^T \cdot A \cdot \overline{\vec{u}} = \vec{u}^T \cdot A^T \cdot \overline{\vec{u}} = (A \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = (\lambda \cdot \vec{u})^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot \vec{u}^T \cdot \overline{\vec{u}} = \lambda \cdot (\vec{u}, \overline{\vec{u}})
\implies \lambda = \overline{\lambda} \implies \lambda \in \mathbb{R} \qquad \vec{u} \neq \vec{o}
- DK: Nechť
- ke každému vlastnímu číslu existuje reálný vlastní vektor;
- DK:
A- \lambda I
je reální singulární\implies \exists
nenulové reálné řešení
- DK:
- vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou ortogonální.
- DK: Nechť
\lambda_{1}, \lambda_{2}
jsou různá vl. čísla s vl. vektory\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}
. - platí:
\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{2} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})
\vec{u}_{1}^T \cdot A \cdot \vec{u}_{2} = \vec{u}_{1}^T \cdot A^T \cdot \vec{u}_{2} = (A \cdot \vec{u}_{1})^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot \vec{u}_{1}^T \cdot \vec{u}_{2} = \lambda_{1} \cdot (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2})
\text{protože } \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \implies (\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}) = 0 \implies \vec{u}_{1} \perp \vec{u}_{2}
- DK: Nechť
- všechna vlastní čísla matice A jsou reálná;
- Reálná symetrická matice A řádu
n
mán
ortogonálních reálných vlastních vektorů.
Zákon setrvačnosti kvadratických forem
- Je-li kvadratická forma na
\mathbb{R}^n
vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů.2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2
Inercie kvadratické formy
- Nechť
\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
je kvadratická forma, A reálná symetrická matice. Označmek
- počet kladných vlastních čísel matice A (vč. násobností);z
- počet záporných vlastních čísel matice A;d
- počet nulových vlastních čísel matice A.
- Trojici čísel (
k
,z
,d
) nazýváme inercií kvadratické formy. - značíme
in(\kappa) = (k, z, d)
Druhy inercií
Řekněme, že kvadratická forma \kappa(\vec{x})
na \mathbb{R}^n
je
typ | jestliže |
---|---|
pozitivně definitní | in(\kappa) = (k, 0, 0) |
negativně definitní | in(\kappa) = (0, z, 0) |
pozitivně semidefinitní | in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0 |
negativně semidefinitní | in(\kappa) = (0, z, d), d > 0 |
indefinitní | in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0 |
pozitivně i negativně semidefinitní | in(\kappa) = (0, 0, d) |
Hlavní minory
- Nechť
A = [a_{ij}]
je reálná symetrická matice řádun
aA_k
je její podmatice obsahující prvkya_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}
. Potom číslo\det(A_k)
nazveme hlavním minorem maticeA
řáduk
a značí se\Delta _{k}
.
Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium)
- Nechť A je reálná symetrická matice řádu
n
s hlavními minory\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0
. - Kvadratická forma
\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
je pozitivně definitní, jestliže\Delta _{i} > 0
pro každé i z\{1, 2, \dots, n\}
. - Kvadratická forma
\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
je negativně definitní, jestliže\Delta _{i} > 0
pro každé i z\{1, 2, \dots, n\}
sudé a\Delta _{i} < 0
pro každé i z\{1, 2, \dots, n\}
liché.