9.7 KiB
Pojmy z LAA
inverzní matice, regulární a singulární matice
-
inverzní matice
- X je inverzní k A, jestliže platí
A * X = X * A = I
- X je inverzní k A, jestliže platí
-
regulární matice
- čtvercová matice
vlastnost výraz její hodnost se rovná jejímu řádu hod(A) = n
má nenulový determinant \det{A} \neq 0
existuje k ní inverzní matice \text{existuje } A^{-1}
- Každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici.
- čtvercová matice
-
singulární matice
vlastnost výraz její hodnost je menší než její řád hod(A) < n
má nulový determinant \det{A} = 0
neexistuje k ní inverzní matice \text{neexistuje } A^{-1}
lineární, identické zobrazení, jádro, obraz, matice lineárního zobrazení a přechodu
-
zobrazení (funkce) => množiny M do množiny N je předpis, kdy každému prvku z M je přiřazen právě jeden prvek z N
-
lineární zobrazení (homomorfizmus)
- máme L. V. P.:
U, V
- Zobrazení
\mathbb{L} : U \rightarrow V
je lineární zobrazení pokud\forall x, y \in U
a\forall c \in \mathbb{R}
platí:-
\mathbb{L}(x+y) = \mathbb{L}(x) + \mathbb{L}(y)
-
\mathbb{L}(c*x) = c * \mathbb{L}(x)
-
- máme L. V. P.:
-
identické zobrazení
- zobrazení
\mathbb{F}
pro které platí\mathbb{F}(x) = (x)
- zobrazení
-
jádro
- Máme L. V. P.:
U, V
a linerní zobrazení\mathbb{L} : U \rightarrow V
- jádro lineárního zobrazení
\mathbb{L}
je množina všech prvkůx \in U
takových, že\mathbb{L}(x) = 0_v
:- Ker(
\mathbb{L}) = \left \{ x \in U; \mathbb{L}(x) = 0_v\right \}
- Ker(
- Máme L. V. P.:
-
obraz
- Máme L. V. P.:
U, V
a linerní zobrazení\mathbb{L} : U \rightarrow V
- obraz lineárního zobrazení
\mathbb{L}
je množina všech prvkůy \in V
takových, že\exists \space x \in U
tak, že\mathbb{L}(x) = y
:Im \space \mathbb{L} = \{y \in V; \space \exists x \in U, \space \mathbb{L}(x) = y \}
- Máme L. V. P.:
-
matice lineárního zobrazení
- Máme L. V. P.:
U, V
a linerní zobrazení\mathbb{L} : U \rightarrow V
- matice lineárního zobrazení je matice M pro kterou platí:
\widehat{\mathbb{L}(u)} = M * \vec u
- M = [$\widehat{\mathbb{L}(u_1)} \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_2)} \space\space ... \space\space \widehat{\mathbb{L}(u_n)}$]
- Máme L. V. P.:
-
matice přechodu
- Máme L. V. P.:
U, V
a linerní zobrazení\mathbb{L} : U \rightarrow V
- matice přechodu $T$ je matice pro kterou platí:
T* \vec x_c = \widehat {I * \vec x_d}
- matice přechodu
T
od bázeD
k báziC
- Máme L. V. P.:
determinant matice, hodnost matice, algebraický doplněk matice
-
determinant
- Determinantem čtvercové matice
A = [a_{ij}]
řádun
nazveme číslo -
\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}
- kde sčítáme přes všechny permutace na množině
\{1, 2, \dots, n\}
. - součet všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkém a lichá se záporným
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
- Determinantem čtvercové matice
-
hodnost matice
- počet nenulových řádků / sloupců matice
- dimenze lineárního obalu souboru řádků / sloupců matice
- Je to číslo, které představuje maximální počet lineárně nezávislých řádků / sloupců matice.
-
algebraický doplněk matice
- Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
(-1)^{i+j} * \det A[\cancel{i/j}]
polynom proměnné x
-
polynom je funkce ve tvaru součtu násobků mocninných funkcí
-
\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0
-
p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0
vlastní číslo, vektor, spektrum matice
-
vlastní číslo matice
- máme čtvercovou matici -
A
, vlastní vektor maticeA
-\vec{u}
, vlastní číslo maticeA
-\lambda
- pro vlastní číslo musí platit:
A * \vec u = λ * \vec u
- máme čtvercovou matici -
-
spektrum matice
- Nechť A je čtvercová matice
- soubor všech vlastních čísel matice A
- značí se
Sp(A)
- např.:
Sp(A) = \{3^2; -1\}
- např.:
-
vlastní vektor matice
- Nechť A je čtvercová matice
- nenulový vektor
\vec u
je vlastním vektorem maticeA
příslušnému vlastnímu číslu\lambda
, jestližeA * \vec u = λ * \vec u
báze L.V.P., dimenze L.V.P., podprostor
- báze L.V.P.
- množina LN vektorů, které generují daný prostor
- dimenze L.V.P.
- počet prvků báze
- značí se:
dim(V)
- podprostor
-
máme lineární vektorový prostor
V
a jeho podprostorU \subset V
, jestliže-
- pro každé
\vec{u}, \vec{v} \in U
je\vec{u} + \vec{v} \in U
- pro každé
-
- pro každé
\vec{u} \in U
a pro každéa \in K
jea \cdot \vec{u} \in U
- pro každé
-
-
vyplývá, že v podprostoru
U
bude vždy i nulový vektor (a = 0
) -
každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem
-
ortogonální doplněk podprostoru
- máme
V\leftarrow
podprostor Eukleidovského prostoruW
- ortogonální doplněk
V^{\perp}
podprostoruV
vU
je množina všech vektorů zU
, které jsou kolmé naV
V^{\perp} = \{ \vec u \in U; \forall \space \vec v \in V; \vec u \perp \vec v \}
dim(V) + dim(V^{\perp}) = dim(W)
lineárně závislé prvky, lin. kombinace prvků
- lineárně závislé prvky
- máme L. V. P.:
V
- máme prvky
\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V
a koeficienty\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}
- prvky jsou lineárně závislé (LZ) pokud LK
\neq 0
:\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n \neq 0
- máme L. V. P.:
- lineárně nezávislé prvky
- máme L. V. P.:
V
- máme prvky
\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V
a koeficienty\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}
- prvky jsou lineárně nezávislé (LN) pokud LK
\neq 0
:\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n = 0
- máme L. V. P.:
- lineární kombinace prvků
- máme L. V. P.:
V
- máme prvky
\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V
a koeficienty\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}
- lineární kombinace prvků:
\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n
- máme L. V. P.:
kvadratická forma, inercie, definitnost kvadratické formy, hlavní minor
-
kvadratická forma
- Nechť A je reálná symetrická matice řádu n
- kvadratická forma určená maticí A je zobrazení
\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
-
inercie
- Nechť
\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}
je kvadratická forma, A reálná symetrická matice - inercie je Trojice čísel (
k
,z
,d
)k
- počet kladných vlastních čísel matice A;z
- počet záporných vlastních čísel matice A;d
- počet nulových vlastních čísel matice A.
- Nechť
-
definitnost kvadratické formy
- vyjadřuje, jakých hodnot nabývá forma pro všechny nenulové vektory
- pozitivně definitní:
in(\kappa) = (k, 0, 0)
- negativně definitní:
in(\kappa) = (0, z, 0)
- pozitivně semidefinitní:
in(\kappa) = (k, 0, d)
- negativně semidefinitní:
in(\kappa) = (0, z, d)
- indefinitní:
in(\kappa) = (k, z, d)
-
hlavní minor
- Nechť
A = [a_{ij}]
je reálná symetrická matice řádun
aA_k
je její podmatice obsahující prvkya_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}
. Potom číslo\det(A_k)
nazveme hlavním minorem maticeA
řáduk
a značí se\Delta _{k}
.
- Nechť
kořen polynomu, stupeň polynomu
- Nechť
p(x)
je polynom proměnnéx
- kořenem polynomu
p(x)
:c \in C
takové, žep(c) = 0
diagonální, symetrická, trojúhelníková, . . . matice
-
diagonální matice
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
- pro
i \neq j : A_{ij} = 0
diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
-
symetrická matice
- čtvercová matice, kde se
a_{ij}
rovnáa_{ji}
\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}
A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}
- čtvercová matice, kde se
-
Antisymetrická matice
- čtvercová matice, kde se
a_{ij}
rovná-a_{ji}
- na hlavní diagonále musí mít nuly, protože
0 = -0
\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}
A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}
- Poznámka: V antisymetrické matici jsou všechny prvky
a_{ii} = 0
- čtvercová matice, kde se
-
trojúhelníková matice
- Pro horní trojúhelníkovou platí pro všechna
i > j
, žea_{ij} = 0
- Pro dolní trojúhelníkovou platí pro všechna
i < j
, žea_{ij} = 0
H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
- Pro horní trojúhelníkovou platí pro všechna