1.4 KiB
Laplaceova matice
Nechť G
je neorientovaný graf s vrcholy V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}
a \vec{G}
nějaké jeho orientace bez smyček a násobných hran. Dále položme
L = A(\vec{G}) \cdot (A(\vec{G}))^T \quad
(tzv. Laplaceova matice grafuG
).A(\vec{G})
je indukovaná matice libovolné orientace neorientovaného grafu.
Potom pro prvky čtvercové matice L = (l_{ij})
řádu n
platí:
l_{ij} = \begin{cases} \text{d}(v_{i}) & \text{pokud } i=j, \\ -1 & \text{pokud } v_{i}v_{j} \in E(G), \\ 0 & \text{jinak,} \end{cases}
kde \text{d}(v_{i})
je stupeň vrcholu v_{i}
.
Navíc platí, že matici L' = M_{R}(\vec{G}) \cdot (M_{R}(\vec{G}))^T
získáme vypuštěním posledního řádku a sloupce z matice L
.
Kolik koster má úplný graf na n
vrcholech?
- Úplný graf na
n \geq 2
vrcholech mán^{n-2}
různých koster.
Počet koster
Cauchy-Binetova věta: Nechť B
je matice o rozměrech r\times s
, kde r \leq s
. Potom platí, že
\displaystyle\det(B\cdot B^T) = \sum_{I} (\det B_{I})^2,
kde I
probíhá všechny $r$-prvkové množiny sloupců a B_I
je čtvercová podmatice matice B
, určená sloupci z množiny I
.
Věta: Nechť \vec{G}
je slabě souvislý orientovaný graf bez smyček a A = M_{R}(\vec{G})
. Potom počet koster grafu \vec{G}
je roven determinantu matice A \cdot A^T
.