4.7 KiB
Grafy
Graf G
je dvojice G = (V, E)
, kde V
je konečná množina a E \subseteq \left({V \atop 2}\right)
, přičemž
\left({V \atop 2}\right) = \{\{x,y\}: x,y\in V\text{ a } x\neq y\}
je množina všech dvouprvkových množin (neuspořádaných dvojic) prvků množiny V
.
V(G)
- prvky množinyV
- vrcholy (uzly) grafuG
E(G)
- prvky množinyE
- hrany grafuG
Vrcholy x,y \in V
jsou sousední, pokud \{x,y\}\in E
.
Podgraf
Mějme graf G
, kde graf H
je
- podgrafem
G
, pokud platíV(H) \subseteq V(G), \quad E(H) \subseteq E(G)
- je to graf
G
, od kterého odebereme hrany a vrcholy
- indukovaným podgrafem
G
, pokud platíV(H) \subseteq V(G), \quad E(H) = E(G) \cap {V(H) \choose 2}
- graf
G
s odebranými vrcholy a všemi hranamy k nim připojeným
Faktor grafu
Faktor grafu G
je libovolný jeho podgraf F
, pro který platí, že množina vrcholů V(G) = V(F)
a množina hran E(G) \subseteq E(F)
. Faktor F
je vlastní, je-li různý od grafu G
.
Řekneme, že faktor F
je sudý, má-li v něm každý vrchol sudý stupeň.
Rovnost grafů G_{1} = G_{2}
Grafy G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})
jsou si rovny, pokud V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}
Stupeň vrcholu
Stupeň vrcholu v grafu G
je počet hran grafu G
, které obsahují vrchol v
. Značí se d_{G}(v)
.
Obvykle značíme n = \vert V(G) \vert
a toto číslo nazýváme řádem grafu G
(počet vrcholů), a m = \vert E(G) \vert
nazýváme velikostí grafu G
(počet hran).
- V grafu o
n
vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýšen-1
. - V každém grafu platí, že
\sum_{v \in V(G)} d_{G}(v) = 2m
.- Důsledek: V každém grafu je počet vrcholů lichého stupně sudý.
Neorientovaný graf
- hrany jsou definovány jako neuspořádané dvojice vrcholů
- odpovídá relaci na
V
, která je antireflexivní a symetrická
Speciální grafy
Biparitní (sudý) graf K_{m, n}
má množinu vrcholů rozdělitelnou na dvě disjunktní množiny A, B
tak, že žádné dva vrcholy ze stejné množiny nejsou spojeny hranou.
V = A \cup B, A \cap B = \emptyset
E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}
Úplný graf na n
vrcholech (značený K_{n}
) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků [n]
, takže V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right)
.
Diskrétní graf D_{n}
na n
vrcholech nemá žádné hrany: V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset
.
TODO
Homomorfizmus grafu
Nechť G_{1} = (V_{1}, E_{1})
a G_{2} = (V_{2}, E_{2})
jsou grafy. Zobrazení f: V_{1} \to V_{2}
je homomorfismus, pokud platí
(x, y) \in E_{1} \implies (f(x), f(y)) \in E_{2}
,\{x, y\} \in E_{1} \implies \{f(x), f(y)\} \in E_{2}
.
- každá hrana se zobrazí na hranu
- zkráceně píšeme
f: G_{1} \to G_{2}
Poznámka: f: V_{1} \to V_{2}
je homomorfizmus právě když e \in E_{1} \implies f^*(e) \in E_{2}
.
Zobrazení indukované zobrazením
Nechť f: V_{1} \to V_{2}
je homomorfizmus. Potom zobrazení f^*: \left({V_{1} \atop 2}\right) \to \left({V_{2} \atop 2}\right)
definované vztahy
f^*((u, v)) = (f(u), f(v))
,f^*(\{u, v\}) = \{f(u), f(v)\}
nazveme zobrazení indukované zobrazením f
.
Další morfizmy
Nechť G_{1} = (V_{1}, E_{1})
a G_{2} = (V_{2}, E_{2})
jsou grafy a zobrazení f: V_{1} \to V_{2}
je homomorfismus. Potom se f
nazývá
- vrcholový monomorfizmus, je-li
f
prosté, - vrcholový epimorfizmus, je-li
f
na, - hranový monomorfizmus, je-li
f^*
prosté, - hranový epimorfizmus, je-li
f^*
na, - monomorfizmus, jsou-li
f
if^*
prostá, - epimorfizmus, jsou-li
f
if^*
na, - izomorfizmus, jsou-li
f
if^*
zároveň prostá i na.
(mono = prosté, epi = zobrazení na)
Grafy G_{1}, G_{2}
jsou izomorfní, jestliže existuje izomorfizmus G_{1}
na G_{2}
a píšeme G_{1} \simeq G_{2}
Automorfismus grafu
Automorfismem grafu G
nazveme izomorfizmus G \to G
.
Izomorfismus může být triviální (identické zobrazení, v_{i} \to v_{i}, \dots
) nebo netriviální. Složení izomorfismů je opět izomorfismus.
Množina automorfismů grafu G
s operací skládání tvoří grupu a značí se \text{Aut}(G)
.
Orientované grafy
- Orientovaný graf je dvojice
G = (V, E)
, kdeV
je množina vrcholů aE \subseteq V \times V
je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů) - orientované grafy odpovídají binárním relacím
- graf může obsahovat dvojici protichůdných hran
- má upravené definice některých pojmů