48 lines
1.8 KiB
Markdown
48 lines
1.8 KiB
Markdown
# Lineární zobrazení
|
|
|
|
- $U = R^4$ - před zobrazením
|
|
- $V = R^3$ - po zobrazení
|
|
- $\mathbb{L} : U \to V$
|
|
|
|
### Ověření linearity zobrazení
|
|
|
|
- zkontrolovat, že platí
|
|
- $\mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)$
|
|
- $\mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)$
|
|
|
|
### Jádro
|
|
|
|
- všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
|
|
- zjištění přes zjištění LK
|
|
- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \mathbb{L}(V) = 0 \}$
|
|
- zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
|
|
|
|
Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).
|
|
|
|
### Obraz
|
|
|
|
- všechny LK vektorů po zobrazení
|
|
- zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
|
|
|
|
Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
|
|
|
|
### Prosté zobrazení
|
|
|
|
Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
|
|
- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$
|
|
|
|
### Izomorfní zobrazení
|
|
|
|
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$.
|
|
|
|
### Matice lineárního zobrazení
|
|
|
|
Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
|
|
|
|
**Postup**:
|
|
- Určete matici zobrazení $\mathbb{L}$ v bázích $B_{1}$ a $B_{2}$.
|
|
1. Vektory první báze **zobrazím pomocí lineárního zobrazení**.
|
|
2. Zobrazené vektory napíšu do sloupců matice $A_{2}$.
|
|
3. Do matice $A_{1}$ napíšu do sloupců vektory ze druhé báze.
|
|
4. Matice **spojím** do matice $A = [A_{1} \mid A_{2}]$, kterou vyřeším pomocí GJEM.
|
|
5. Na **levé straně** díky GJEM dostanu **jednotkovou matici** a na **pravé straně** vznikne **matice lineárního zobrazení**.
|